4. Théories axiomatiques et dérivées
• Méthodes hilbertiennes
L'espace E des mesures d'énergie finie n'étant pas complet, Deny, en 1950, introduit les éléments du complété en développant une théorie du potentiel dans Rn, où le noyau est une distribution et le potentiel un produit de convolution de distributions (cf. distributions [Mathématiques]). Avec quelques restrictions, la théorie de Cartan peut être adaptée. Dans l'axiomatisation par Beurling et Deny des espaces de Dirichlet, on utilise le fait que la norme de Dirichlet est diminuée par les contractions normales : Si v varie moins vite que u, l'intégrale de Dirichlet relative à v est plus petite que l'intégrale de Dirichlet relative à u. Cette remarque, due à A. Beurling, permet de donner des démonstrations très courtes et très élégantes des résultats fondamentaux de la théorie du potentiel. Elle permet aussi de démontrer des théorèmes profonds de synthèse spectrale en analyse harmonique.
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