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POTENTIEL THÉORIE DU

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3.  Liens avec l'analyse fonctionnelle

•  Énergie

La physique élémentaire nous apprend que l'unique charge électrique q du potentiel capacitaire V d'un conducteur donne un état d'équilibre et correspond à un minimum de l'énergie :

 on dit que V est un potentiel d'équilibre. C'est cette idée qui conduisit Gauss, en 1840, à considérer l'intégrale :

où Uμ est le potentiel newtonien d'une mesure μ donnée par une densité sur une surface Σ rendant minimum l'intégrale. Or cela n'est vrai qu'avec des restrictions qui furent éclaircies par Frostman en 1935. Ce sont, au fond, les idées de Gauss qui sont à l'origine du travail de Cartan sur l'énergie dont il est question ci-dessous.

Dans Rn, n ≥ 3, avec le noyau newtonien, on appelle énergie mutuelle de deux mesures μ et ν ≥ 0 la quantité :

pour toute mesure μ, on appelle énergie de μ le nombre ∥μ∥e = √(μ|μ) et, à l'aide de l'inégalité fondamentale (non évidente),
il est facile de voir que μ ↦ ∥μ∥e est une semi-norme et, par suite, que l'ensemble des mesures positives ou nulles d'énergie finie est un cône convexe E+.

On considère ensuite l'espace vectoriel E = E+ − E+ et on prolonge de façon standard la semi-norme à E. L'inégalité fondamentale est encore vérifiée et la semi-norme prolongée est encore une semi-norme sur E.

 […]

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…  analyse fonctionnelle, etc.) et le conduit à la solution d'un problème posé par Lebesgue. Dès* 1944, il s'intéresse, souvent en collaboration avec Jacques Deny ou Marcel Brelot (1903-1987), à la théorie abstraite du potentiel qui généralise la notion newtonienne introduite pour l'étude des champs gravitationnels. Cette étude le mène à définir… Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE

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Dans le chapitre "Théorie ergodique, probabilités et potentiels"  : …  E. Hopf, a été aussi prouvé par J. Neveu par des méthodes probabilistes. Le lien avec la théorie du *potentiel découle de recherches faites par A. Brunel, par P. A. Meyer et par Ackoglu qui ont utilisé le lemme suivant, appelé lemme ergodique maximal. Soit f ∈ L1 (réel) et A ∈ B tel que :… Lire la suite
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RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

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