2. Théorèmes et principes fondamentaux
• Balayage
On appelle S-fonction une fonction u localement bornée inférieurement qui vérifie, pour toute boule B(x, R), la relation :
où dσ est la mesure-aire de ∂B et ∫* l'intégrale supérieure. L'utilité de ces fonctions provient de ce que l'enveloppe inférieure d'une famille de S-fonctions localement bornée inférieurement est une S-fonction et que la régularisée semi-continue inférieurement d'une S-fonction est hyperharmonique. Soit ω un ouvert borné de Rn, E ⊂ ω, et ϕ une fonction ≥ 0 sur E. On note (RϕE)ω ou RϕE l'enveloppe inférieure des fonctions v hyperharmoniques ≥ 0 dans ω qui majorent ϕ sur E. La fonction RϕE s'appelle la réduite de ϕ sur E et est une S-fonction ; c'est une fonction croissante de E, positivement homogène et sous-additive en ϕ. La proposition 4 montre que RϕE est harmonique, ou égale à + ∞, en dehors de E. Si ϕ est la trace d'une fonction surharmonique v ≥ 0, la régularisée ûRvE, alors surharmonique, est appelée la balayée de v sur E. Si E est suffisamment régulier (une boule, par exemple), la balayée vaut v sur E ; et, si v est un potentiel Gμ, la balayée, majorée par Gμ, est encore un potentiel qui vaut Gμ sur E. On peut donc écrire :
On dit que μE est la balayée de μ sur E et que μE engendre le même potentiel que Gμ sur E. On dit de façon imagée que l'on a balayé les masses sur E. C'est en fait ce qui se passe : si E est toujours un compact suffisamment régulier, μE est alors constituée des masses de μ portées par E, auxquelles viennent s'ajouter les masses de μ qui n'étaient pas portées par E. Une étude approfondie donne un résultat plus précis pour E quelconque.
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