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MARTINGALES THÉORIE DES

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5.  Calcul stochastique

Considérons l'équation :

représentant, par exemple, l'évolution d'un système où intervient un bruit blanc modélisé par la « dérivée » d'un mouvement brownien (Bt), t ≥ 0 ; pour donner un sens à (⋆), on a besoin de définir l'intégrale du type :

L'intégrale stochastique. Lorsque (Ht), t ≥ 0, est un processus convenable et (Xt), t ≥ 0, une semi-martingale, on peut définir :

car si Ht = 1{t ≤ T}, où T est un temps d'arrêt, la seule définition naturelle est :
ensuite, par linéarité et continuité, cette « intégrale stochastique » se prolonge à tout H borné, mesurable par rapport à la tribu engendrée par les (Ht), t ≥ 0 de la forme ci-dessus ; on montre que ce prolongement n'est possible que si (Xt), t ≥ 0 est une semi-martingale ; lorsque (Xt) est à variation finie, l'intégrale stochastique coïncide avec l'intégrale de Stieltjes ; mais, lorsque (Xt), t ≥ 0, n'est pas à variation finie (par exemple si (Xt), t ≥ 0, est une martingale continue), l'intégrale de Stieltjes n'existe pas alors que l'intégrale stochastique est définie. Indiquons deux outils essentiels qui permettent de manier cette intégrale :

– un théorème de convergence dominée qui s'exprime ainsi : Si une suite (Htn), t ≥ 0, de processus intégrables  […]

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