4. Martingales à temps continu et semi-martingales
Pour les martingales à temps continu, on a des résultats analogues à ceux qui ont été décrits ci-dessus dans le cas du temps discret ; mais leur étude (et celle des processus qui y sont rattachés, les semi-martingales) tire aussi son origine des propriétés de martingales associées à deux processus stochastiques qui jouent un rôle fondamental : le mouvement brownien (ou processus de Wiener) et le processus de Poisson.
L'intérêt de cette étude est ensuite accru par la construction de l'intégrale stochastique, la résolution d'équations différentielles stochastiques par rapport aux semi-martingales qui permettent de développer un calcul stochastique à temps continu. Les applications en sont nombreuses, autant dans d'autres branches des mathématiques que pour la modélisation de certains phénomènes physiques.
Dans tout ce paragraphe I = [0, ∞[.
• Exemples
Exemple 7 : Soit (Nt), t ≥ 0, le processus de comptage de Poisson de paramètre 1 et (ℱt), t ≥ 0, la filtration naturelle de (Nt), t ≥ 0. La propriété pour (Nt), t ≥ 0, d'avoir ses accroissements indépendants permet d'obtenir que, avec t ≥ 0,
Exemple 8 : Un processus (Bt), t ≥ 0, continu, adapté à une filtration (Ft), t ≥ 0, est un mouvement brownien si, pour tout s et pour tout t positifs, la variable Bt+s − Bt est indépendante de ℱt et suit une loi gaussienne centrée de variance s ; il est facile de voir, alors, que (Bt, ℱt), t ≥ 0, et (Bt […]
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