MARTINGALES THÉORIE DES

3.  Martingales à temps discret et théorèmes de convergence

Le cœur de cette partie est l'étude des théorèmes de convergence. Nous donnerons quelques idées sur le théorème d'arrêt, les résultats de convergence, les inégalités et quelques applications.

•  Théorème d'arrêt

L'idée essentielle contenue dans ce paragraphe est la suivante. Pour un jeu équitable, dans un intervalle de temps borné, il n'existe pas de « stratégie » (c'est-à-dire de façon de miser et de quitter le jeu en tenant compte uniquement des coups passés) qui permette de gagner. Ainsi la stratégie « bête » de l'exemple 1 n'est-elle pas plus bête qu'une autre.

En termes mathématiques, cela se traduit de la manière suivante : le caractère de martingale d'un processus n'est pas affecté par un temps d'arrêt. Plus précisément :

– on dit qu'une variable aléatoire T à valeurs dans N est un temps d'arrêt par rapport à une filtration (ℱ_n) si, pour tout entier n, {T = n}, est ℱ_n-mesurable : autrement dit, en termes de jeux, l'instant T où on décide de quitter le jeu ne dépend pas des informations connues à ce moment-là.

– Si T est un temps d'arrêt relativement à (ℱ_n), on définit la tribu ℱ_T (dite tribu associée à l'instant aléatoire T) par l'ensemble des événements A tels que A ∩ {T = n} soit ℱ_n-mesurable.

Moralement, c'est la tribu des événements antérieurs à T : si T(ω) = n₀ fixé, on retrouve bien ℱn₀.

Théorème. Si S et T sont deux temps d'arrêt bornés vérifiant S ≤ T, alors

presque sûrement.

Il en résulte, en prenant l'espérance des deux membres, que E(X_T) = E(X₀) pour tout temps d'ar […]