2. Processus stochastiques et martingales
Soit (Ω, ℱ, p) un espace probabilisé et I un intervalle de N ou de R+ ; une famille (Xt), t ∈ I, de variables aléatoires réelles est appelée processus stochastique à valeurs réelles à temps discret si I ⊂ N et à temps continu si I ⊂ R. Souvent un processus stochastique représente la modélisation d'un phénomène aléatoire évoluant au cours du temps (représenté par le paramètre t ) ; pour ω fixé, la fonction de t : t → Xt(ω) est appelée trajectoire du processus ; si I est un intervalle de R+ , on dit que le processus est continu si presque toutes ses trajectoires sont continues.
• Filtration
À chaque processus stochastique (Xt), t ∈ I, sont liées de façon naturelle les tribus ℱtX, engendrées par les variables Xs pour s ≤ t, qui représentent toute l'information fournie par le processus jusqu'à l'instant t ; une telle famille (ℱtX), t ∈ I, est une filtration.
De façon plus précise, une filtration indexée par I est une famille (ℱt), t ∈ I, de sous-tribus de ℱ, c'est-à-dire ℱt ⊂ ℱ, possédant la propriété de croissance suivante :
Un processus stochastique (Xt), t ∈ I, est dit adapté à une filtration (ℱt), t ∈ I, si, pour tout t ∈ I, la variable aléatoire Xt est ℱt-mesurable ; tout processus stochastique (Xt), t ∈ I, est évidemment adapté à sa fi […]
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