1. Le programme de Hilbert
David Hilbert a proposé un programme de démonstration d'une opinion philosophique : le formalisme. La prétention de Hilbert à démontrer son point de vue a pour contrepartie évidente la possibilité de le réfuter ; la philosophie s'accommode rarement de conclusions aussi tranchées ! Même réfuté, le formalisme garde ses adeptes, notamment en France, avec Bourbaki : on sait bien que les idéologies simplistes ont un pouvoir d'attraction qui persiste même après leur échec patent ; la réfutation de Hilbert par Gödel ne nous propose en aucune manière une vision de même nature : Gödel a détruit l'espoir de donner une réponse claire et nette à certaines interrogations essentielles, mais il n'a pas donné les bases d'un nouveau credo. Les mathématiques doivent être analysées comme une activité sans signification, semblable à un jeu, tel le jeu d'échecs : il s'agit de règles formelles fixées à l'avance et permettant de construire certains assemblages de symboles, à savoir les énoncés mathématiques et leurs démonstrations.
Voilà le credo formaliste ; évidemment cette attitude s'accommode de positions ontologiques variées, depuis le solipsisme jusqu'aux différentes variantes de positivisme. L'élément essentiel de la pensée de Hilbert (et celle de son époque, le début du xxe siècle), c'est peut-être le mécanisme : à l'opposé des intuitionnistes, qui, avec Brouwer, allaient proclamer le rôle essentiel du mathématicien en tant que sujet pensant, Hilbert réduit celui-ci à la dimension d'un robot : le sens des mathématiques, l'« intuition », ce n'est que ce qui permet de compenser en partie notre infériorité par rapport aux vraies machines.
L'ontologie hilbertienne est non vide : pour Hilbert, il y a certains objets, certaines propriétés, certaines démonstrations qui ont vraiment un sens, qui existent ; il les appelle élémentaires : ce sont les entiers naturels (plus généralement, les constructions finies) pour ce qui est des objets ; les propriétés élémentaires au sens de Hilbert, ce sont les énoncés de la forme : ∀x1 ... ∀xn, f (x1, ..., x
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