ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

La théorie des ensembles fut créée par Georg Cantor à la fin du xix^e siècle. Cependant, le caractère extrêmement général et abstrait de la notion d'ensemble permit de produire des paradoxes rendant la théorie contradictoire (cf. théorie élémentaire des ensembles). Pour échapper à ces paradoxes et fournir un cadre… Lire la suite

2.  ANALYSE NON STANDARD

Écrit par : Jean-Michel SALANSKIS

… à définir de façon rigoureuse de tels nombres en utilisant les techniques de la théorie des modèles,* elle-même fortement liée à la théorie des ensembles mise en place par Cantor. Il faisait fond sur les « ensembles infinis » auxquels Cantor nous avait introduits et habitués pour réhabiliter les anciennes infinitésimales disqualifiées. Robinson a… Lire la suite

3.  CANTOR GEORG (1845-1918)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

…  finies. À l'occasion de recherches fines d'analyse, Cantor étudia et compara directement des *ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses difficultés logiques, la théorie de Cantor allait lui… Lire la suite

4.  COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

Écrit par : Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a… Lire la suite

5.  CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par : André WARUSFEL

… tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. *Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle de la théorie des ensembles, elle-même axiomatisée (par exemple par les systèmes de Zermelo-Fraenkel ou Gödel-von Neumann). Aujourd'hui, tout objet mathématique… Lire la suite

6.  CONTINU & DISCRET

Écrit par : Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Continu et théorie des fondements"  : … sa place dans l'échelle transfinie. Les structures logiques investies dans la théorie des *ensembles axiomatisée qui a valeur de référence (à savoir ZF) ne suffisent pas à lever les indéterminations en la matière. Si bien que l'on comprend les réactions « constructivistes » et plus particulièrement « intuitionnistes » : pour ces courants… Lire la suite

7.  CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par : Patrick DEHORNOY

*L'hypothèse du continu est la plus ancienne et l'une des plus fondamentales des questions ouvertes en théorie des ensembles. Les résultats de W. Hugh Woodin constituent une avancée décisive : sans clore la question, ils renouvellent profondément le cadre conceptuel et, pour la première fois, offrent une… Lire la suite

8.  DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "L'étrange géométrie du mathématicien ensembliste"  : … le « découpage » du disque de Laczkovich donnant le carré comporte plus de 10⁵⁰ pièces ! *On sait que l'axiome du choix fut l'objet d'âpres discussions lors de la mise au point de la théorie des ensembles et de son adoption par les mathématiciens du début du xx^e siècle. Rappelons que l'axiome du choix affirme que, si E… Lire la suite

9.  FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

…  mathématique. Cependant, ce projet n'est plus à l'ordre du jour pour deux raisons au moins. *Tout d'abord, l'inquiétude du début du xx^e siècle est aujourd'hui essentiellement oubliée, car aucune contradiction n'est apparue dans la version axiomatisée de la théorie des ensembles, notée ZF, mise au point par Ernst Zermelo (… Lire la suite

10.  FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)

Écrit par : Bernard PIRE

… *Mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles. Né le 17 évrier 1891 à Munich (Allemagne), Adolf Abraham Halevi Fraenkel fait ses études supérieures dans différentes universités, à Munich, Marburg, Berlin puis Breslau. Ses premiers travaux concernent les nombres p-adiques et la théorie des anneaux. Il enseigne à partir de… Lire la suite

11.  FREGE GOTTLOB (1848-1925)

Écrit par : Claude IMBERT

Dans le chapitre "L'antinomie"  : … eurent pour conséquence la séparation de la logique (calcul pur des prédicats) et de la théorie des *ensembles. Celle-ci requiert une langue enrichie de deux constantes de prédicat, l'égalité et l'appartenance. Le sens de ce dernier prédicat binaire est inclus dans les axiomes qui régissent son emploi et constituent la théorie formelle des ensembles… Lire la suite

12.  GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par : Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : …  calculabilité, qui permettait de dégager la véritable généralité des théorèmes de Gödel. *C'est en théorie des ensembles, à l'axiomatisation de laquelle il contribua, que Gödel fit sa troisième grande découverte, en apportant à une célèbre question de Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier… Lire la suite

13.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 1 : hypothèse du continu"  : … n'est peut-être que provisoire. La première tâche a consisté à préciser une axiomatique pour la *théorie des ensembles : ce sera l'œuvre de Zermelo, à partir de 1908, de Bernays, de von Neumann, de Gödel, de Frankel dans les années 1920-1930. Zermelo énonce en particulier l'axiome du choix, qui a pour conséquence que tout ensemble peut être muni… Lire la suite

14.  LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par : Daniel ANDLER, Roger MARTIN

Dans le chapitre "Adolescence : 1908-1931"  : … parue entre 1910 et 1913, présentent un système formel cohérent absorbant la théorie des *ensembles, système appelé théorie des types, et établit, grosso modo, la réduction de l'essentiel des mathématiques de l'époque à cette théorie. Ainsi se trouve fondée la thèse logiciste, mais seulement en un sens restreint, car la théorie des types… Lire la suite

15.  LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

Écrit par : Jean LOUVEAUX

… *Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une… Lire la suite

16.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'arithmétisation de l'analyse"  : … abstrait, qui deviendra, jusqu'à sa mort, le thème essentiel de ses recherches. Or la théorie des *ensembles (bien que la chose ne soit pas apparue clairement aux yeux des contemporains) s'articulait fortement sur les concepts élaborés par Frege. En particulier, la définition cantorienne des cardinaux est, pour l'essentiel, dans un autre langage,… Lire la suite

17.  MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par : Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH

Dans le chapitre "Les théorèmes de Löwenheim-Skolem"  : … ne peut rappeler ici. Il en est de même du « paradoxe de Skolem » : si la théorie axiomatique des *ensembles ZF admet un modèle, elle admet un modèle dénombrable, lequel « contient » des ensembles non dénombrables tels que l'ensemble pN des ensembles entiers. Il est facile de démontrer un théorème un peu plus général. Soit b un modèle… Lire la suite

18.  NEUMANN JOHN VON (1903-1957)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Logique mathématique"  : … Une série d'articles, échelonnés de 1925 à 1929, est consacrée à l'axiomatisation de la théorie des *ensembles. Dans Die Axiomatisierung der Mengenlehre (1928), von Neumann propose une axiomatisation remarquablement concise et simple de la théorie naïve qui repose sur la notion d'objet de premier type (les ensembles) et de second type (les… Lire la suite

19.  NOMBRE

Écrit par : Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Notion mathématique de nombre"  : … xix^e siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise. *Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des… Lire la suite

20.  SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

Écrit par : Gabriel SABBAGH

… *Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les… Lire la suite

21.  ZERMELO ERNST (1871-1953)

Écrit par : Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant de légitimer le raisonnement par induction transfinie. En… Lire la suite