INCOMPLÉTUDE THÉORÈMES D'

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

Écrit par : Bernard PIRE

Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier, il est impossible de prouver que les axiomes fondant ce… Lire la suite

2.  DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

Écrit par : Jean-Yves GIRARD

Dans le chapitre "Le programme de Hilbert"  : … variante du programme de Hilbert est strictement équivalente à l'original. Le premier théorème d'*incomplétude de Gödel (1931) est un coup d'arrêt brutal et définitif au programme : l'énoncé de Gödel est élémentaire, vrai (on le sait par des méthodes non élémentaires), mais non prouvable dans la théorie elle-même : il suffit d'appliquer ce… Lire la suite

3.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Les limites de ZF"  : … appelle résultats de non-contradiction relative. Tout d'abord, rappelons que le théorème d'*incomplétude de Gödel exclut toute démonstration de non-contradiction absolue : on ne peut établir dans ZF que ZF est non contradictoire et cela vaut également pour toutes les variantes de ZF. Par ailleurs, il est tentant, pour comprendre la notion… Lire la suite

4.  FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

Écrit par : Jacques-Paul DUBUCS

Dans le chapitre "Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel"  : … faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. *Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique de Giuseppe Peano (1858-1932), qui contient présumablement la totalité des méthodes finitistes de… Lire la suite

5.  FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

…  grande majorité des mathématiciens comme cadre logique et notationnel pour exposer leurs travaux. *De plus, l'interprétation la plus simple du second théorème d'incomplétude de Kurt Gödel (1906-1978) de 1931 est que la non-contradiction d'une théorie ne peut être démontrée qu'à l'aide d'une théorie plus puissante et qu'il est donc vain de chercher… Lire la suite

6.  FORMALISME

Écrit par : Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY

Dans le chapitre "Logique et mathématique"  : … de « limitation » des systèmes formels. Le plus célèbre est le théorème de Gödel (1931) énonçant l'*incomplétude de l'arithmétique formalisée, c'est-à-dire la possibilité de construire une interprétation du système formel dans laquelle figure une proposition vraie qui est représentée dans le système par une expression formellement indémontrable. (… Lire la suite

7.  GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par : Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : … fini de la propriété : l'ensemble X d'assertions est vérifié dans une certaine interprétation. Les *théorèmes d'incomplétude constituent la deuxième grande découverte de Gödel. Conformément à son « programme », Hilbert cherchait à démontrer (de manière finitiste) la consistance d'un système formel de l'analyse. Un rapide examen convainquit Gödel de… Lire la suite

8.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 2 : consistance de l'arithmétique"  : … plus pauvres que ceux qui sont admis en général en mathématiques. En 1931, les théorèmes d'*incomplétude de Gödel mettent fin à cet espoir ainsi formulé. Ils ne vouent pas pour autant les travaux de Hilbert, ni son programme, à l'oubli. L'ambition de Hilbert est de constituer les preuves mathématiques en objet d'étude mathématique, et de… Lire la suite

9.  LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par : Daniel ANDLER, Roger MARTIN

Dans le chapitre "Le premier théorème d'incomplétude"  : … *Au prix d'une semblable entorse à la rigueur, on peut schématiser la démonstration du premier théorème d'incomplétude de la manière suivante. Soit β(v) la formule définissant la propriété « la formule de n.g. v est prouvable ». L'énoncé ¬β(⌈¬β⌉), interprété dans n, affirme « Je ne suis pas prouvable. » Si cet énoncé était… Lire la suite

10.  RÉALISME, mathématique

Écrit par : Hourya BENIS-SINACEUR

Dans le chapitre "Le réalisme et l'infini"  : … de la vérité est fondée sur la légitimité prioritaire du critère réaliste de vérité-correspondance. *Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel, qui montre que l'on ne peut démontrer formellement la non-contradiction d'un système supposé non contradictoire avec les seuls moyens définis dans le système, a établi l'impossibilité de s'en tenir au… Lire la suite

11.  RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

Écrit par : Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE

Dans le chapitre "Indécidabilité de propriétés classiques"  : … que : Une seconde illustration des notions introduites ci-dessus est une forme du second théorème d'*incomplétude de Gödel (cf. Indécidabilité et décidabilité pour d'autres formes). Ce résultat affirme qu'il existe une équation diophantienne n'admettant pas de racines dans N et dont on ne peut pas démontrer qu'elle est sans… Lire la suite