BOLZANO-WEIERSTRASS THÉORÈME DE

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  COMPACITÉ, mathématique

Écrit par : André WARUSFEL

…  car il ne donne aucun moyen d'obtenir ne fût-ce qu'une valeur approchée de ce nombre a. *La dernière propriété fondamentale de la compacité consiste en ce que l'on appelle la propriété de Bolzano-Weierstrass : étant donné une suite (an) d'éléments de A, il existe un nombre L et une fonction strictement croissante … Lire la suite

2.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'œuvre de Bolzano"  : … doit une démonstration du théorème auquel, avec celui de Weierstrass, son nom est resté attaché : *« Tout ensemble infini borné de points possède au moins un point d'accumulation » (Bolzano avait démontré le théorème dans le cas d'une suite infinie bornée et décroissante de nombres). Enfin et surtout, on lui doit un effort pour préciser la nature… Lire la suite

3.  MÉTRIQUES ESPACES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Espaces métriques compacts"  : … la suite initiale qui converge vers ce point. Nous pouvons maintenant énoncer la propriété de *Bolzano-Weierstrass, vraie pour tout espace topologique compact, mais qui caractérise les espaces métriques compacts parmi les espaces métriques : toute suite possède au moins un point d'accumulation. Nous renvoyons à… Lire la suite

4.  NUMÉRIQUE CALCUL

Écrit par : Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Recherche de solutions approchées d'équations numériques"  : … . – L'école de Weierstrass (1815-1897) utilise systématiquement la dichotomie pour démontrer les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues (existence d'un maximum, continuité uniforme). Ces résultats reposent sur le théorème suivant, dit de *Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une suite convergente… Lire la suite

5.  TOPOLOGIE - Topologie générale

Écrit par : Claude MORLET

Dans le chapitre "Propriétés"  : …  ; c'est pourquoi f est une application bornée et atteint ses bornes. 2. Propriété de *Bolzano-Weierstrass. Soit (un), n ∈ N, une suite de points du compact A. Alors, il existe un point a de A tel que tout voisinage de a contienne un pour… Lire la suite