8. Tests d'ajustement
La construction de modèles stochastiques est une étape importante de l'analyse statistique de données. Pour valider un modèle stochastique à partir des données observées, il faut disposer d'un test répondant à la question : le modèle construit correspond-il bien aux données ? Il s'agit donc du problème suivant.
Soit (X1, ..., Xn) un échantillon de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de fonction de répartition F inconnue. Il faut tester l'hypothèse(19) H0 : F = F0 contre H1 : F ≠ F0,où F0 est une fonction de répartition donnée. L'hypothèse H0 est simple si la fonction F0 est complètement connue et elle est composite sinon. Par exemple, F0 peut être la fonction de répartition d'une loi normale de paramètres arbitraires (il s'agit dans ce cas de tester la « normalité » de l'échantillon) ou d'une loi normale de paramètres partiellement arbitraires.
Les méthodes vues précédemment étaient orientées vers des tests d'hypothèses concernant une ou plusieurs contraintes dans l'espace du ou des paramètres. Ces méthodes ne permettent pas de tester, par exemple, l'hypothèse de normalité de l'échantillon, car il faut alors tester l'hypothèse que la fonction de répartition appartient à toute une famille de lois normales contenant un nombre infini de lois. Le problème de tests d'hypothèses de type 19 est donc non paramétrique.
On appelle test d'ajustement tout test servant à tester des hypothèses de type 19. Le premier test d'ajustement a été proposé par K. Pearson en 1900. Considérons-le dans le cas de variables aléatoires discrètes et d'une hypothèse simple.
Soit (X1, ..., Xn) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de même loi, où chaque Xk est à valeurs dans {1, ..., m} et suit une loi inconnue p = (p1, ..., pm) avec pi = P(Xk = i), 1 = i = m. Supposons que l'on veuille tester l'hypothèse sim […]
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