STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

5.  Tests uniformément les plus puissants

Soit (Ω, B, P_θ), θ ∈ Θ ⊂ ℝ, un modèle statistique, où Ω est un espace d'échantillonnage, B est une tribu sur Ω, P_θ est une loi de probabilité sur B paramétrisée par un paramètre réel θ, Θ est un espace paramétrique inclus dans ℝ.

Nous avons vu que le problème consistant à construire un test ϕ uniformément le plus puissant pour tester l'hypothèse statistique H₀ : θ ∈ Θ₀ contre l'hypothèse alternative H₁ : θ ∈ Θ₁, où Θ₁ est le complémentaire de Θ₀ dans Θ, se réduit au problème de maximisation de la puissance(11) 

,dans la classe de tous les tests ϕ vérifiant la condition(12) ,où α est un niveau admis, avec β_ϕ(θ) = E_θ[ϕ].

Le problème résumé par les conditions 11 et 12 n'admet une solution que pour certaines familles de lois P_θ, que nous allons considérer.

Sans perte de généralité, supposons que sur (Ω, B) il existe une mesure σ-finie dominante μ, et notons la densité dP_θ/dμ(ω) = p_θ(ω). Supposons que, pour θ ≠ θ', on ait P_θ ≠  P_θ'. Supposons encore que les hypothèses soient unilatérales, c'est-à-dire que :(13) H₀ : θ ≤ θ₀ contre H₁ : θ > θ₀.On dit que la famille de densités (p_θ)_θ ∈ Θ possède un rapport de vraisemblance monotone si, pour tout θ et tout θ', il existe une statistique T à valeurs T(ω), ω ∈ Ω, telle que le rapport p_θ'(ω)/p_θ(ω) soit une fonction croissante de T. Dans ce cas, un test UPP existe et sa structure est donnée par le théorème suiva […]