3. Cas de deux hypothèses simples : test de Neyman-Pearson
Dans le cas de deux hypothèses simples, H0 : θ = θ0 contre H1 : θ = θ1, le problème résumé par les conditions 1 et 2 admet une solution précise.
Considérons le cas de lois P0 = Pθ0 et P1 = Pθ1 discrètes. Si on se contente des tests déterministes, c'est-à-dire des tests ϕ de la forme ϕ(ω) = IRc(ω), où IA(ω) est l'indicatrice de l'ensemble A et Rc est une région critique, alors il faut rechercher une région critique Rc telle que pour un niveau α fixe on ait(4)
et qui maximise la puissance(5)
.Au vu de l'échantillon ω, il est clair qu'il faut rejeter H
0 si la valeur de
P1(ω) est importante et celle de
P0(ω) est faible. Cela implique que les valeurs du rapport de vraisemblance
r(ω) =
P1(ω)/
P0(ω) jouent le rôle clé : si ce rapport est important au point ω, il faut inclure ce point dans la région critique. Donc, pour construire
Rc, il faut ranger les valeurs
r(ω) lorsque ω parcourt l'espace Ω. Ensuite, il faut inclure dans
Rc le plus grand nombre de points ω dont les valeurs du rapport
r(ω) sont les plus élevées (pour maximiser la formule 5), de sorte que la condition 4 ne soit pas violée. Si dans la formule 4 on obtient l'égalité, la région critique optimale au sens des conditions 4 et 5 est trouvée. Mais il peut arriver que dans la formule 4 on ait l'inégalité stricte « < » et que, si l'on ajoute dans
Rc le point suivant ω [dans l'ordre de décroissance de
r(ω)], on obtienne l'inégalité stricte « > » (c'est-à-dire que l'on dépasse le niveau α). Cett […]
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