2. Tests déterministes et stochastiques
On identifie tout test avec une statistique ϕ à valeurs ϕ(ω) dans l'intervalle [0, 1], et la procédure de décision au vu d'un échantillon ω (où ω ∈ Ω) est la suivante :– si ϕ(ω) = 0, on accepte l'hypothèse nulle H0 ;– si ϕ(ω) = 1, on rejette H0 ;– si 0 < ϕ(ω) < 1, on rejette H0 avec la probabilité ϕ(ω).
Un test ϕ(ω) est dit déterministe si ϕ(ω) = 0 ou 1 pour tout ω appartenant à Ω\N, où Pθ ;(N) = 0 quel que soit θ. Dans ce cas, l'ensemble de rejet de l'hypothèse nulle H0, Rc(ϕ) = {ω ; ω ∈ Ω et ϕ(ω) = 1}, est la région critique du test ϕ. Sur son complémentaire dans Ω, Ω\Rc(ϕ), l'hypothèse H0 est acceptée.
D'autres tests sont appelés stochastiques. Dans ce deuxième cas, pour tout échantillon ω, l'hypothèse H0 est rejetée avec la probabilité ϕ(ω). Cela signifie que pour prendre une décision définitive, il faut produire une sorte de « jeu », indépendant du résultat d'expérience ω, dans lequel la probabilité de « gagner » est ϕ(ω). Si on gagne dans ce jeu, alors on rejette l'hypothèse H0 ; sinon, on l'accepte.
Pour tout test ϕ, la probabilité de rejeter l'hypothèse H0 lorsqu'elle est vraie, c'est-à-dire l'erreur de première espèce, est donnée par
La quantité
La probabilité d'accepter l'hypothèse H0 lorsqu'elle est fausse, c'est-à-dire l'erreur de seconde espèce, est donnée par α1 (ϕ, θ) = 1 – Eθ[ϕ], θ ∈ Θ1. La quantité βϕ(θ) = Eθ[ϕ], θ ∈ Θ1, est appelée puissance du test ϕ sous le paramètre θ et la fonction βϕ de Θ dans [0, 1] définie par βϕ(θ) […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 8 pages…
