SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Très brèves indications bibliographiques

Au lecteur non mathématicien, s'il existe, le Picture Book de R. Abraham & C. Shaw apprendra à se familiariser avec les diverses façons de « voir » un système dynamique.À un niveau plus scolaire, on peut tenter sa chance avec le livre de M. W. Hirsh & S. Smale ou Équations différentielles ordinaires de V. I. Arnold

plus généralement, Méthodes mathématiques de la mécanique classique et Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires de V. I. Arnold donnent une vue géométrique remarquablement maîtrisée au niveau conceptuel des sujets qu'ils abordent, tout en restant (relativement) peu techniques. De même, le livre de S. Lefschetz a gardé toute sa séduction.C'est l'article de S. Smale qui, conjugué à l'influence de Thom, a donné une vie nouvelle – au moins en Occident – à l'étude qualitative des systèmes dynamiques et surtout à la théorie hyperbolique

sa lecture reste passionnante aujourd'hui et sa bibliographie, mise à jour, est un bon outil de travail. On la prolongera en consultant les cours d'écoles d'été récentes, par exemple le C.I.M.E. et Les Houches, et l'article de R. Bowen, le livre de W. de Melo & J. Palis et l'article de M. Shub. Dans un esprit plus physicien, les articles de M. V. Berry et de R. G. Helleman décrivent de nombreux exemples et donnent une bibliographie extensive.Du côté conservatif, en plus de l'ouvrage de V. I. Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, déjà cité, on consultera avec plaisir les livres de R. Abraham & J. Marsden, de R. Sternberg, de J. K. Moser, de C. L. Siegel & J. K. Moser, et le cours de M. R. Herman

en théorie ergodique, les livres de V. I. Arnold & A. Avez et de Y. G. Sinaï et l'article de D. Ruelle.Enfin, on ne saurait trop recommander au lecteur mathématicien de revenir aux œuvres originales, en particulier de H. Poincaré et de G. D. Birkhoff, dont la lecture reste un régal et réserve sans doute encore bien des surprises.R. Abraham & J. Marsden, Foundations of Mechanics, 2^e éd., Benjamin-Cummings, 1978

R. Abraham & C. Shaw, Dynamics : The Geometry of Behavior, The Visual Math. Libr., Aerial Press, 1981

V. I. Arnold, Équations différentielles ordinaires, Mir, Moscou, 1974

Méthodes mathématiques de la mécanique classique, ibid., 1976

Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, ibid., 1980

V. I. Arnold & A. Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique, Gauthier-Villars, Paris, 1967

M. V. Berry, « Regular and Irregular Motion

topics in non-linear dynamics », in S. Jorna dir., Am. Inst. Phys. Conf. Proc., vol. XLVI, 1978

G. D. Birkhoff, Collected Mathematical Papers (en particulier vol. II), Dover, 1968

R. Bowen, « On axiom A diffeomorphisms », in Am. Math. Soc. C.B.M.S., n^o 35, 1978

W. de Melo & J. Palis, Geometric Theory of Dynamical Systems, an Introduction, Springer, 1982

R. G. Helleman, « Self-Generated Behavior in non-linear mechanics », in E. G. D. Cohen dir., Fundamental Problems in Statistical Mechanics, vol. V, North-Holland, Amsterdam, 1980

M. R. Herman, Cours à l'École normale supérieure, 1980, à paraître dans Astérisque

M. W. Hirsch & S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press, 1974

S. Lefschetz, Differential Equations, Geometric Theory, Dover, 1977

J. K. Moser, « Stable and Random Motion in dynamical systems », in Annals of Math., Study 77, Princeton, 1973

H. Poincaré, Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1951

D. Ruelle, « Formalisme thermodynamique », in Encyclopaedia of Mathematics

M. Shub, « Stabilité globale des systèmes dynamiques », in Astérisque, n^o 56, 1978

C. L. Siegel & J. K. Moser, Lectures on Celestial Mechanics, Springer, 1971

Y. G. Sinaï, Introduction to Ergodic Theory, Princeton Univ. Press, 1977

S. Smale, « Differentiable Dynamical Systems », in Bull. A.M.S., 1967

repris dans The Dynamics of Time, Springer, 1980

S. Sternberg, Celestial Mechanics, part. 1 et 2, Benjamin, 1969.C.I.M.E., juin 1978, Dynamical Systems, Liguori, 1980

Les Houches, juillet 1981, G. Iooss, R. G. Helleman et R. Stora dir., North-Holland, 1983.

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