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SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

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8.  Mesures invariantes et exposants de Liapounov

Nous abordons dans ce chapitre quelques aspects de la théorie ergodique des systèmes dynamiques qui, sous l'impulsion initiale de Birkhoff et von Neumann (démonstration en 1931 du théorème ergodique) puis de l'école russe (introduction de l'entropie métrique par Kolmogorov en 1958, travaux de Sinaï sur l'hypothèse ergodique à partir de 1962), s'est beaucoup développée ces dernières années : lorsque la description géométrique d'un portrait de phase s'avère trop difficile, on la remplace par une description de type statistique ; comme en thermodynamique, on cherche des « mesures d'équilibre » qui décrivent le comportement asymptotique de « presque toutes » les courbes intégrales (orbites) du système. Dans le cas hamiltonien, il existe une mesure invariante lisse, la mesure de Liouville λ ; en 1885, Boltzmann émet sa fameuse hypothèse à propos de la théorie cinétique des gaz : en termes d'aujourd'hui, il suppose que la situation « générale » pour un système hamiltonien est l'ergodicité dans les hypersurfaces E d'énergie constante, c'est-à-dire que tout sous-ensemble mesurable A invariant par le flot et situé dans une hypersurface E vérifie λ(A) = 0 ou λ(E − A) = 0 (il supposait en fait que chaque orbite pouvait parcourir toute l'hypersurface E, ce qui est impossible). Le théorème de K.A.M. est venu infirmer cette hypothèse en montrant l'existence de familles de tores invariants de mesure totale positive pour les systèmes hamiltoniens suffisamment proches (dans la topologie Ck, k assez grand) d'un système complètement intégrable.

Cependant, pour certains systèmes dynamiques possédant une mesure invariante lisse, l'ergodicité a pu être démontrée. On a cité à la fin du chapitre 7 le flot géodésique sur une surface de courbure négative. Le billard sur un tore troué, dans lequel la boule se déplace sur le tore suivant des droites (après déroulement sur R2) et se réfléchit sur le bord du trou avec un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence ( : tennis dans une forêt), est un cas limite d'un tel flot : si on imagine que la trajectoire de  … ]

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Autres références

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ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  par Kolmogorov et dont un cas particulier avait été établi en 1962 par l'Américain Jürgen Moser. *Ce théorème KAM (initiales de ses trois auteurs) quantifie de façon précise comment la perturbation d'un système intégrable préserve du chaos des îlots de l'espace des phases où la dynamique reste quasi périodique. Les travaux ultérieurs d'Arnold… Lire la suite
CARLESON LENNART (1928- )

Écrit par :  Jeremy John GRAY,  Universalis

…  le prix Abel « pour ses contributions profondes et déterminantes à l'analyse harmonique et à la *théorie des systèmes dynamiques lisses ». Cette récompense couronne notamment les travaux effectués avec son collègue et compatriote Michael Benedicks en 1991, qui apportent l'une des premières preuves rigoureuses que des « attracteurs étranges »… Lire la suite
CHAOS, physique

Écrit par :  Pierre BERGÉ, Monique DUBOIS

Dans le chapitre "Où trouver la sensibilité aux conditions initiales ? "  : …  montré en 1971 que la dépendance S.C.I., donc un comportement chaotique, pouvait apparaître dans un *système dynamique ayant au minimum trois fréquences indépendantes (ce qui revenait à dire trois variables ou trois degrés de liberté), et dont les non-linéarités sont suffisantes. De fait, le nombre minimal de degrés de liberté nécessaires pour que… Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE

Écrit par :  Antoine BRUNEL

Dans le chapitre "Systèmes dynamiques"  : …  *On ne donnera pas de définition générale et on se limitera aux systèmes (Ω, m, θ) ayant les propriétés énoncées au début du paragraphe 2 en renvoyant à l'article systèmes dynamiques. On appelle un tel triplet S = (Ω, m, θ) un système dynamique. Soit S = (Ω′, m… Lire la suite
FORME

Écrit par :  Jean PETITOT

Dans le chapitre "Phénomènes critiques"  : …  s. On est donc conduit à un schéma général tout à fait analogue à celui des *systèmes dynamiques (mais d'une difficulté redoutable à mettre effectivement en pratique à cause de très nombreux points techniques d'analyse fonctionnelle). Supposons qu'on prenne, par exemple, pour F l'hamiltonien H du système. Soit … ]… Lire la suite
HASARD & NÉCESSITÉ

Écrit par :  Ilya PRIGOGINE, Isabelle STENGERS,  Universalis

Dans le chapitre "Réalisme et pertinence"  : …  C'est en 1892 en effet que Poincaré avait publié son fameux théorème selon lequel les *systèmes dynamiques à plus de deux corps ne sont pas, de manière générale, intégrables. Pendant plus de soixante ans, les conséquences du théorème de Poincaré n'ont pas attiré beaucoup l'attention. C'est seulement avec les travaux initiés par Kolmogoroff, Arnold… Lire la suite
HOPF HEINZ (1894-1971)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien allemand, né à Breslau et mort à Zollikon. Heinz Hopf fit ses études à Berlin, où il fut l'élève d'Erhard Schmidt, puis à Heidelberg et à Göttingen, où il rencontra, en 1925, le mathématicien russe Paul Alexandrov, avec lequel il restera en contact étroit toute sa vie. Après une année d'étude à l'université de Princeton, où il subit l… Lire la suite
KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Systèmes dynamiques"  : …  Pour *tous les concepts relatifs à ce chapitre, nous renvoyons à l'article systèmes dynamiques différentiables. La complexité de la théorie, dont les premières bases ont été posées par Henri Poincaré, provient du fait que les équations du problème des trois corps – le problème classique de la mécanique newtonienne – ne sont pas intégrables… Lire la suite
LIAPOUNOV ALEXANDRE MIKHAÏLOVITCH (1857-1918)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien et physicien russe, membre de l'Académie des sciences. Après des études à l'université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l'université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, c'est le représentant le plus remarquable de l'école mathématique… Lire la suite
TURBULENCE

Écrit par :  Fabien ANSELMET, Michel COANTIC, Gérard TAVERA

Dans le chapitre "Les systèmes dynamiques et leurs bifurcations"  : …  Rp représente l'état initial du système, ou condition initiale. *Cet exemple particulier, choisi pour sa simplicité formelle et sa généralité par rapport à notre propos, relève de la théorie qualitative des systèmes différentiels, dont Henri Poincaré a dégagé à la fin du xixe siècle les… Lire la suite
YOCCOZ JEAN-CHRISTOPHE (1957- )

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Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 4 Figure 7 Figure 7 bis Figure 33 Figure 33 bis Figure 7 Figure 8 Figure 9 Figure 10 Figure 11 Figure 8 Figure 11 Figure 12 Figure 13 Oscillation d'un pendule avec frottement selon l'amortissement Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 16 Figure 17 Figure 18 Figure 19 Figure 20 Figure 19 Figure 21 Figure 19 Figure 21 Figure 22 Figure 23 Figure 24 Figure 25 Figure 26 Figure 27 Figure 28 Figure 29 Figure 30 Figure 31 Intersections de variétés stables et instables Figure 32 Figure 33 Figure 33 bis Figure 34 Figure 35 Figure 36 Figure 34 Figure 37 Figure 38 Figure 9 Figure 39 Figure 32 Figure 40 Figure 39 Figure 41 Figure 33 Figure 33 bis Figure 42 Figure 39 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 43 Figure 44 Figure 43 Figure 45 Figure 46 Figure 43 Figure 47 Figure 31 Figure 48 Figure 49 Figure 15 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 50 Figure 51 Figure 50 Figure 52 Figure 51 Figure 39 Figure 53 Figure 54 Figure 55 Figure 56 Figure 57 Figure 51 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 57 Figure 58 Figure 57 Figure 59 Figure 60 Figure 61 Figure 69 Figure 70 Figure 62 Figure 63 Figure 65 Figure 64 Figure 36 Figure 65 Figure 66 Figure 67 Feuilletages invariants dans le cas du solénoïde Figure 68 Figure 69 Figure 66 Figure 67 Figure 70 Figure 69 Figure 70 Figure 69 Figure 71 Figure 72 Figure 73 Figure 74 Figure 73 Figure 74 Exemples d'ergodicité de systèmes dynamiques Figure 75 Figure 76 Figure 71

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