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SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

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7.  Hyperbolicité

Les exemples des chapitres précédents ont fait apparaître la possibilité dès la dimension trois (dimension deux pour les difféomorphismes, un pour les endomorphismes) d'un comportement asymptotique complexe de certains ensembles de courbes intégrales (orbites) ; de plus, ce comportement, loin d'être exceptionnel, pouvait comme dans l'exemple 1 posséder une certaine stabilité vis-à-vis des perturbations des équations.

Nous donnons dans ce chapitre un aperçu de la structure de ces mouvements asymptotiques pour les systèmes dynamiques vérifiant l'axiome A de Smale, seule grande classe dont existe une théorie globale satisfaisante : la stabilité y est due en dernier ressort à la stabilité des points fixes hyperboliques des difféomorphismes d'un espace vectoriel normé complet. Ce dernier fait est très général : si l'attracteur d'un difféomorphisme ne change pas sous de petites perturbations éventuellement différentes à chaque itération, il est hyperbolique au sens défini ci-dessous (théorème de Franks).

Cette théorie a son origine dans les travaux d'Anosov sur le flot géodésique des variétés riemanniennes à courbure négative, flot relié en particulier au mouvement d'une masse ponctuelle sur la variété ; nous décrirons succinctement le cas des surfaces de courbure négative constante à la fin du chapitre, mais nous parlerons surtout des systèmes dynamiques à temps discret (difféomorphismes), le cas des flots étant parallèle. Les références accessibles sont l'article de Smale dans le Bulletin de l'A.M.S., le petit livre de Bowen, et le cours de Lanford aux Houches ; un exposé plus technique se trouve dans le livre de Shub.

Commençons par préciser la notion de comportement asymptotique en définissant l'ensemble non errant Ω(f ) d'un difféomorphisme f d'une variété M comme le complémentaire du sous-ensemble de M formé des points possédant un voisinage U tel que fk(U) ∩ U soit vide pour tout entier k (points errants ; dans le cas d'un flot, la condition devient ϕt(U) ∩ U vide pour t > t0). Il est clair que Ω(f ) est fermé, invariant par f (c'est-à-dire f (Ω) = Ω), et contient le sous-ensemble Per(f ) de […]

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Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 4 Figure 7 Figure 7 bis Figure 33 Figure 33 bis Figure 7 Figure 8 Figure 9 Figure 10 Figure 11 Figure 8 Figure 11 Figure 12 Figure 13 Oscillation d'un pendule avec frottement selon l'amortissement Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 16 Figure 17 Figure 18 Figure 19 Figure 20 Figure 19 Figure 21 Figure 19 Figure 21 Figure 22 Figure 23 Figure 24 Figure 25 Figure 26 Figure 27 Figure 28 Figure 29 Figure 30 Figure 31 Intersections de variétés stables et instables Figure 32 Figure 33 Figure 33 bis Figure 34 Figure 35 Figure 36 Figure 34 Figure 37 Figure 38 Figure 9 Figure 39 Figure 32 Figure 40 Figure 39 Figure 41 Figure 33 Figure 33 bis Figure 42 Figure 39 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 43 Figure 44 Figure 43 Figure 45 Figure 46 Figure 43 Figure 47 Figure 31 Figure 48 Figure 49 Figure 15 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 50 Figure 51 Figure 50 Figure 52 Figure 51 Figure 39 Figure 53 Figure 54 Figure 55 Figure 56 Figure 57 Figure 51 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 57 Figure 58 Figure 57 Figure 59 Figure 60 Figure 61 Figure 69 Figure 70 Figure 62 Figure 63 Figure 65 Figure 64 Figure 36 Figure 65 Figure 66 Figure 67 Feuilletages invariants dans le cas du solénoïde Figure 68 Figure 69 Figure 66 Figure 67 Figure 70 Figure 69 Figure 70 Figure 69 Figure 71 Figure 72 Figure 73 Figure 74 Figure 73 Figure 74 Exemples d'ergodicité de systèmes dynamiques Figure 75 Figure 76 Figure 71

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