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SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

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2.  Le pendule avec frottement linéaire, un système structurellement stable

Nous avons pu déterminer exactement les courbes intégrales de l'équation du pendule sans frottement en utilisant la conservation de la fonction H le long de ces courbes.

Si on suppose maintenant, ce qui est plus réaliste, que le pendule possède un certain frottement, la détermination explicite de ces courbes intégrales se complique énormément mais, au moins dans le cas d'un frottement dépendant linéairement de la vitesse, leur allure qualitative peut être encore facilement décrite en mêlant analyse locale par linéarisation aux équilibres et propriétés globales de la fonction H.

Plus précisément, si le frottement est proportionnel à la vitesse, l'équation de Newton devient :

ou encore :

L'allure des courbes intégrales est en grande partie dictée par l'observation suivante : la fonction H définie à propos de (P1) est non croissante le long d'une courbe intégrale de (P2) (dissipation de l'énergie) ; elle est même strictement décroissante en tous les points où y ≠ 0 (on dit que H est une fonction de Liapounov pour (P2) dans le complémentaire de y = 0). En effet,

Corrélativement, la divergence du champ de vecteurs défini par (P2) est − ρ : le flot associé « diminue » les aires.

D'autre part, les deux équilibres sont maintenant hyperboliques : au voisinage de (0, 0), (P2) s'écrit :

alors qu'au voisinage de (π, 0), dans les coordonnées x̃, y introduites à propos de (P1), elle s'écrit :

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ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  par Kolmogorov et dont un cas particulier avait été établi en 1962 par l'Américain Jürgen Moser. *Ce théorème KAM (initiales de ses trois auteurs) quantifie de façon précise comment la perturbation d'un système intégrable préserve du chaos des îlots de l'espace des phases où la dynamique reste quasi périodique. Les travaux ultérieurs d'Arnold… Lire la suite
CARLESON LENNART (1928- )

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…  le prix Abel « pour ses contributions profondes et déterminantes à l'analyse harmonique et à la *théorie des systèmes dynamiques lisses ». Cette récompense couronne notamment les travaux effectués avec son collègue et compatriote Michael Benedicks en 1991, qui apportent l'une des premières preuves rigoureuses que des « attracteurs étranges »… Lire la suite
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Dans le chapitre "Où trouver la sensibilité aux conditions initiales ? "  : …  montré en 1971 que la dépendance S.C.I., donc un comportement chaotique, pouvait apparaître dans un *système dynamique ayant au minimum trois fréquences indépendantes (ce qui revenait à dire trois variables ou trois degrés de liberté), et dont les non-linéarités sont suffisantes. De fait, le nombre minimal de degrés de liberté nécessaires pour que… Lire la suite
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Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 4 Figure 7 Figure 7 bis Figure 33 Figure 33 bis Figure 7 Figure 8 Figure 9 Figure 10 Figure 11 Figure 8 Figure 11 Figure 12 Figure 13 Oscillation d'un pendule avec frottement selon l'amortissement Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 16 Figure 17 Figure 18 Figure 19 Figure 20 Figure 19 Figure 21 Figure 19 Figure 21 Figure 22 Figure 23 Figure 24 Figure 25 Figure 26 Figure 27 Figure 28 Figure 29 Figure 30 Figure 31 Intersections de variétés stables et instables Figure 32 Figure 33 Figure 33 bis Figure 34 Figure 35 Figure 36 Figure 34 Figure 37 Figure 38 Figure 9 Figure 39 Figure 32 Figure 40 Figure 39 Figure 41 Figure 33 Figure 33 bis Figure 42 Figure 39 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 14 Figure 15 Figure 43 Figure 44 Figure 43 Figure 45 Figure 46 Figure 43 Figure 47 Figure 31 Figure 48 Figure 49 Figure 15 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 50 Figure 51 Figure 50 Figure 52 Figure 51 Figure 39 Figure 53 Figure 54 Figure 55 Figure 56 Figure 57 Figure 51 Portrait de phase pour 0 < < 2 Figure 57 Figure 58 Figure 57 Figure 59 Figure 60 Figure 61 Figure 69 Figure 70 Figure 62 Figure 63 Figure 65 Figure 64 Figure 36 Figure 65 Figure 66 Figure 67 Feuilletages invariants dans le cas du solénoïde Figure 68 Figure 69 Figure 66 Figure 67 Figure 70 Figure 69 Figure 70 Figure 69 Figure 71 Figure 72 Figure 73 Figure 74 Figure 73 Figure 74 Exemples d'ergodicité de systèmes dynamiques Figure 75 Figure 76 Figure 71

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