3. Les surfaces minimales dans l'espace à trois dimensions
À la fin du xixe siècle, un petit nombre seulement de problèmes d'aire minimale avaient pu être complètement résolus, en particulier celui de la surface d'aire minimale reliant deux anneaux coaxiaux, perpendiculaires à leur axe commun, et celui de la surface minimale contenue dans un quadrilatère gauche, c'est-à-dire un quadrilatère dont les arêtes ne sont pas toutes dans le même plan.
Leonhard Euler a montré, au xviiie siècle, que la solution du premier problème était, à la condition que les anneaux fussent suffisamment proches l'un de l'autre, une caténoïde, c'est-à-dire une surface de révolution dont la méridienne est une chaînette, courbe formée par une chaîne suspendue en deux points. À mesure qu'augmente la distance entre les deux anneaux, la surface de la caténoïde se rapproche de l'axe jusqu'à une distance critique, c'est-à-dire au moment où la surface se sépare en deux disques enfermés dans les anneaux. Si l'on continue à augmenter la distance entre les anneaux, la seule surface d'aire minimale sera formée des deux disques. La surface de la caténoïde est la surface minimale absolue tant que la distance qui sépare les deux anneaux est suffisamment faible. Les deux disques donnent une surface minimale relative quand la distance entre les anneaux est faible. Cependant, quand on augmente la distance entre les anneaux et que l'aire de la caténoïde augmente, on atteint une distance pour laquelle l'aire des disques est égale à l'aire de la caténoïde. Entre cette distance et la distance critique, les deux disques forment la surface minimale absolue, et la surface de la caténoïde n'est qu'une surface minimale relative.
La solution du problème de la surface d'aire minimale contenue dans un quadrilatère gauche a été trouvée à la fin du xixe siècle, par H. A. Schwarz. Il s'agit d'une surface en forme de « selle ». Jesse Douglas et Tibor Radó ont fait d'autres découvertes analytiques importantes dans le cadre de l'étude des surfaces d'aire minimale.
L'une des caractéristiques « simplificatrices […]
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