POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

9.  Structures de Poisson et quantification

Soit un système mécanique décrit par un champ hamiltonien sur une variété de Poisson P (c'est souvent un fibré cotangent). Lorsque l'on tente de quantifier ce système, on tente d'associer à chaque fonction f (« observable classique ») définie sur P un opérateur O(f) (« observable quantique ») d'un espace de Hilbert (cf. mécanique quantique - Le formalisme de la mécanique quantique). En fait, des considérations physiques font que l'on cherche plutôt une famille O_h(f) de tels opérateurs, dépendant d'un paramètre réel h, et que l'on impose des relations(32) O_h(f) ∘ O_h(g) – O_h(g) ∘ O_h(f) = O_h({f, g}) + o(h),où o(h) désigne une expression petite par rapport à h. On ne sait réaliser ce programme qu'en imposant beaucoup de conditions supplémentaires et en restreignant l'espace des observables. Cela dit, quand cette quantification existe et que les applications f ↦ O_h(f) sont bijectives, l'espace des observables classiques hérite d'une famille à un paramètre h de lois internes associatives ∗_h définies par(33) f ∗_h g ≔ O_h^–1(O_h(f) ∘ O_h(g)).L'idée qui s'est donc imposée aux physiciens mathématiciens (en guise de préliminaire à la quantification) est la construction de telles familles de lois associatives sur l'espace C^∞(P) des fonctions de classe C^∞ définies sur P. De façon plus précise, on s'intéresse d'abord à des familles « formelles » de lois