7. Le problème de réalisation symplectique
Le chapitre 5 (Le feuilletage symplectique) montre que les variétés de Poisson sont des réunions de variétés symplectiques. Cela dit, et en particulier dans les cas où la dimension n'est pas constante, une réunion arbitraire de variétés symplectique n'est à peu près jamais une variété de Poisson : on doit réaliser des conditions de recollement que l'on ne sait pas exprimer de manière simple.
Dès les débuts de la théorie des variétés de Poisson, on a tenté de ramener leur étude à celle des variétés symplectiques en suivant une autre piste : « rajouter des variables » pour obtenir une variété symplectique. De façon plus précise, étant donné une variété de Poisson M, on cherche à construire une variété symplectique S, de dimension minimale, et une submersion φ : S → M qui échange les crochets de Poisson, c'est-à-dire telle que l'on ait(31) {f ∘ φ, g ∘ φ} = {f, g} ∘ φ,pour toutes fonctions f et g sur M. Un tel couple (S, φ) est appelé réalisation symplectique de (M, { , }).
Si l'on permet à S de ne pas être séparée, Alan Weinstein et Mikhail Vladimirovitch Karasev ont montré l'existence de telles réalisations ; cependant ces constructions restent relativement techniques.
Un exemple important est la réalisation symplectique des structures de Poisson linéaires (cf. ex. 4 du chap. 2, Géométrie de Poisson). Dans ce cas, la variété de Poisson est le dual G∗ d'une algèbre de Lie G et l'on a une réalisation symplectique (T∗G, φ) en prenant pour G un groupe de Lie qui admet G pour algèbre de Lie associée et pour φ : T∗G → G∗ l'application qui à toute 1-forme en un point quelconque x de G associe sa translatée à gauche à l'origine (classiquement identifiée à un élément de G∗).
Cet exemple jouit d'une particularité : la réalisation symplectique a une structure de groupoïde […]
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