POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

5.  Le feuilletage symplectique

Soit U un ouvert d'une variété de Poisson M muni de coordonnées canoniques (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s, z₁, ..., z_m–2s) ; quitte à le restreindre, on peut supposer que (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s) varie dans un disque ouvert D de ℝ^2s. Alors la sous-variété symplectique S, donnée par les équations z₁ = ... = z_m–2s = 0, est réunion des trajectoires du point de coordonnées nulles pour tous les champs hamiltoniens. En effet, un tel champ est de la forme(28) 

,où Z est un champ (ne faisant intervenir que les variables z_i) qui est nul à l’origine. En prenant pour f les fonctions p_i puis q_i, on voit que les trajectoires de l’origine sont du type t ↦ (0, ¼, 0, t, 0, ¼, 0), où t peut occuper les 2s premières places.

Soit x un point de la variété de Poisson M. On note S_x l’ensemble des points y de M pour lesquels il existe une courbe continue de γ : [0, 1] → M, d'origine x [i.e. γ(0) = x], d'extrémité y [i.e. γ(1) = y] et formée en mettant bout à bout un nombre fini de portions de trajectoires de champs hamiltoniens (il existe une suite finie 0 = t₀ < t₁ ... < t_r–1 < t_r = 1 telle que la restriction de γ à chacun des intervalles [t_i, t_i+1] soit une trajectoire d'un champ hamiltonien). La remarque précédente permet de montrer, d'une part, que S_x est une sous-variété de M de dimension égale au rang de x, d'autre part, qu'elle est munie naturellement d'une structure de variété symplectique (elle a  […]