POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

4.  Le théorème de décomposition locale d'Alan Weinstein

Étant donné une structure de Poisson Π sur la variété M, on lui associe l'homomorphisme(21) ♯ : T^∗M → TM,qui envoie tout covecteur α de T^∗_xM sur le vecteur ♯(α) de T_xM défini par(22) Π(α, β) = ♯(α)(β),pour tout covecteur β dans T^∗_xM. On emploie la même notation ♯ pour désigner l'opérateur qui associe à toute 1-forme α le champ de vecteur ♯(α) défini par (♯(α))(x) = ♯(α(x)). Par exemple, si f est une fonction, alors ♯(df) = X_f est le champ hamiltonien de f.

La restriction de ♯ à T^∗_xM est notée ♯_x. Dans un système de coordonnées (x₁, ..., x_n), on a(23) ♯

,où les Π_ij sont les composantes de Π.

Définition. Soit (M, Π) une variété de Poisson et x un point de M. L'espace C_x ≔ Im ♯_x est appelé l'espace caractéristique de la structure de Poisson Π au point x. La dimension de C_x est appelée le rang de Π au point x. Si le rang de Π en x est égal à la dimension de la variété, on dit que la structure de Poisson est non dégénérée en x. Si le rang de Π est le même en chaque point de M, on dit que Π est une structure de Poisson régulière.

Les structures de Poisson qui sont non dégénérées en chaque point sont exactement celles qui proviennent d'une structure symplectique (cf. chap. 1, Vers la géométrie symplectique).

L'espace caractéristique C_x admet une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, appelée la forme symplectique induite : si X et Y sont deux vecteurs de C_x […]