2. Géométrie de Poisson
André Lichnerowicz a proposé en 1977 de généraliser encore les notions précédentes comme suit.
Définition. Une structure de Poisson sur une variété différentiable M est une application ℝ-bilinéaire et antisymétrique(11) C∞(M)×C∞(M) → C∞(M), (f, g) ↦ {f, g}sur l'espace C∞(M) des fonctions de classe C∞ de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Jacobi(12) {{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0et l'identité de Leibniz(13) {f, gh} = {f, g}h + g{f, h}pour tous f, g et h dans C∞(M).
Autrement dit, (C∞(M), { , }) est une algèbre de Lie [cf. groupes (mathématiques) - Groupes de Lie] dont le crochet de Lie satisfait l'identité de Leibniz. Ce crochet { , } est appelé un crochet de Poisson. Une variété équipée d'un tel crochet est appelée une variété de Poisson.
Exemple 1. C'est Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) qui a découvert que le crochet de Poisson original (1) vérifie l'identité « de Jacobi », et on voit sans peine qu'il vérifie l'identité de Leibniz. Puisque toute forme symplectique a une expression locale du même type que celle de T∗Q, on en déduit que les crochets (9), définis sur les variétés symplectiques, sont bien des crochets de Poisson au sens de la définition générale qui précède.
Exemple 2. Il existe des variétés qui ne peuvent porter des formes symplectiques (par exemple celles de dimension impaire). En revanche, n'importe quelle variété possède des structures de Poisson, en particulier la structure de Poisson triviale, définie par {f, g} = 0 pour toutes fonctions f et g.
Exemple 3. Soit M = ℝ2 avec les coordonnées (x, y) et soit p une fonction de ℝ
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 13 pages…
