POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

13.  Appendice

Pour les notions de base concernant les variétés différentiables, nous renvoyons à l'article variétés différentiables. Si x est un point de la variété différentiable M, on note T_xM l'espace des vecteurs tangents à M au point x.

Un fibré vectoriel de rang p sur la variété M est la donnée d'une variété différentiable E et d'une application différentiable π : E → M tels que l'on ait un atlas (U_i, φ_i)_i ∈ J de M et un atlas correspondant (π^–1(U_i), Φ_i)_i ∈ J tels que Φ_i(π^–1(U_i)) = φ_i(U_i)×ℝ^p, les expressions locales de π soient les projections évidentes (x, y) ∈ φ_i(U_i)×ℝ^p ↦ x ∈ φ_i(U_i), et que les changements de cartes sur E correspondants aux changements ψ_ij = φ_i ∘ φ_i^-1 soient de la forme (x, y) ↦ (ψ_ij(x), γ_ij(x)(y)), de façon que, pour tout x, les fonctions y ↦ γ_ij(x)(y) soient linéaires.

Alors chaque « fibre » E_x ≔ π^–1(x) hérite d'une structure d'espace vectoriel de dimension p et E est leur réunion disjointe : 

. Ainsi un fibré vectoriel de rang p doit être vu comme une réunion disjointe d'espaces vectoriels de dimension p paramétrés par M, le tout muni d'une bonne structure de variété.

Le fibré tangent 

 est l'exemple basique de fibré vectoriel (de […]