POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

12.  Les structures de Nambu d'après Tahktajan

Définition. Soient q un entier supérieur ou égal à 2 et M une variété différentiable. Une structure de Nambu d'ordre q sur M est une application ℝ-multilinéaire et alternée(51) C^∞(M)^q → C^∞(M), (f₁, ..., f_q) ↦ {f₁, ..., f_q}sur l'espace C^∞(M) des fonctions de classe C^∞ de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Leibniz(52) {f₁, ..., f_q–1, g₁g₂} = {f₁, ..., f_q–1, g₁}g₂ + g₁{f₁, ..., f_q–1, g₂}et l'identité fondamentale(53) 

pour tous f_i, g_i appartenant à C^∞(M).

La fonction {f₁, ..., f_q} est appelée crochet de Nambu des fonctions f₁, ..., f_q, et une variété munie d'une telle structure de Nambu est dite variété de Nambu.

Dans le cas q = 2, l'identité fondamentale n'est rien d'autre que celle de Jacobi et on retrouve la définition des structures de Poisson. Beaucoup de propriétés fondamentales des structures de Poisson passent aux structures de Nambu avec q > 2, en particulier l'identité de Leibniz nous permet d'affirmer l'existence d'un q-vecteur Λ avec(54) {f₁, ..., f_q} = Λ( df₁, ..., df_q)pour tout q-uplet de fonctions (f₁, ..., f_q).

Comme annoncé dans le chapitre précédent, l'identité fondamentale a le corollaire étonnant suivant.

Théorème