POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

11.  Mécanique de Nambu

Dans un article de 1973, le physicien théoricien Yoichiro Nambu propose l'étude des systèmes d'équations différentielles(35) 

,pour i = 1, ¼, n, où l’on travaille sur l’espace ℝ³ⁿ muni des coordonnées (p₁, q₁, r₁, ..., p_n, q_n, r_n), H et F étant des fonctions de ces variables ; le symbole  désigne le déterminant . On peut voir ces équations de Nambu comme l'analogue des équations de Hamilton (3) lorsque l'on remplace les couples de variables conjuguées (p_i, q_i) par des triplets de variables (p_i, q_i, r_i).

La mécanique du solide dont le centre de gravité est fixé (le solide « d'Euler ») peut être vue comme relevant des équations de Nambu : si l'on note (p, q, r) les composantes du moment angulaire dans le repère attaché au solide, le mouvement est déterminé par les équations(36) 

,avec H = ½(p²/I₁ + q²/I₂ + r²/I₃) et F = ½(p² + q² + r²).

Après Nambu, plusieurs mathématiciens ont essayé de donner un caractère intrinsèque aux équations (35). Les équations (3) acquérant le leur dans le formalisme symplectique, on a, en particulier, essayé d'introduire une 3-forme ω de façon que le champ de vecteur X donné par le […]