POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

10.  Structures de Poisson spéciales

Un groupe de Lie-Poisson est un groupe de Lie G (on le prendra ici connexe et simplement connexe) muni d'une structure de Poisson Π telle que l'application produit (x, y) ↦ xy de (G, Π)×(G, Π) dans (G, Π) soit un morphisme de Poisson. Une telle structure de Poisson est forcément nulle à l'élément neutre e de G. De plus, elle est complètement déterminée par sa partie linéaire Π⁽¹⁾ en ce point. Au vu de l'exemple 4 du chapitre 2 (Géométrie de Poisson), se donner Π⁽¹⁾ revient à se donner une structure d'algèbre de Lie [ , ]^∗ sur le dual G^∗ de l'algèbre de Lie G de G. On a de plus une relation de compatibilité entre [ , ]^∗ et la structure de Lie usuelle [ , ] sur G, que l'on peut écrire en disant que l'opération binaire, définie sur G×G^∗ par(34) [[(x, α), (y, β)]] = ([x, y] + ad_α(y) – ad_β(x), [α, β]^∗ + ad_x(β) – ad_y(α)),où ad désigne l'une ou l'autre des action coadjointes associées à [ , ]^∗ et [ , ], est une structure d'algèbre de Lie.

Munie de [[ , ]], G×G^∗ est ce que l'on appelle une « bigèbre de Manin ». Ainsi, se donner un groupe de Lie-Poisson revient à se donner une telle bigèbre de Manin. Ces objets, à la structure algébrique très riche, sont fondamentaux dans la théorie des groupes quantiques (cf. Vladimir Gershonovitch drinfeld).

Une structure de Poisson sur un espace vectoriel est dite quadratique si le crochet de deux fonctions linéaires est toujours une fonction quadratique. En théorie des groupes de Lie-Poisson on rencontre souvent, de manière assez détournée, des structures de Poisson quadratiques.

Deux structures de Poisson Π₀ et Π₁ sur une même variété sont dites compatibles si, pour tout r […]