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STATISTIQUE

Analyse des données

Mis en présence de données, le statisticien peut se voir assigner une assez grande variété d'objectifs ; la statistique lui offre les méthodes adaptées à ces objectifs. Ceux-ci peuvent être, par exemple, de présenter les observations, ou de les traiter de telle façon que soit suggérée une explication des phénomènes, ou encore de répondre à une question précise concernant une théorie scientifique (les observations sont-elles en accord avec la théorie ?) ou des aspects non directement observables de la réalité, ou enfin d'éclairer une décision particulière. Certains de ces objectifs peuvent être atteints par des méthodes de traitement des données n'impliquant apparemment aucune hypothèse sur les phénomènes étudiés : ces méthodes sont groupées sous l'expression d'analyse des données. D'autres objectifs impliquent que le statisticien introduise, sous forme d'un modèle probabiliste, les théories qu'il veut vérifier ou préciser (inférence statistique) ou les conséquences possibles du choix d'une action (décision statistique).

En analyse des données, il s'agit donc de « décrire » un ensemble de données. Dans la période classique de la statistique mathématique (première moitié du xxe siècle), on ne disposait de méthodes efficaces que pour des statistiques unidimensionnelles ou bidimensionnelles ; c'est seulement grâce aux ordinateurs que l'on peut traiter, sans trop les appauvrir, des tableaux d'observations de dimensions quelconques.

Statistique descriptive

Pour un phénomène unidimensionnel, une statistique est un ensemble de n mesures {x1, x2, ..., xn} ; on dit que c'est un n-échantillon. On peut le représenter aussi bien comme un n-uple de points de R que comme un point de Rn. Les méthodes statistiques élémentaires (statistique descriptive) s'attachent à décrire de tels objets. On définit ainsi des caractéristiques de valeur centrale : d'une part, la moyenne arithmétique :

la médiane (c'est-à-dire la valeur telle que la moitié des valeurs de l'échantillon lui soit inférieure ou égale), la moyenne des valeurs extrêmes, etc., et d'autre part des caractéristiques de dispersion : ainsi la variance, ou carré de l'écart type s, est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs de l'échantillon et la moyenne arithmétique :

Les choix d'une caractéristique de valeur centrale et d'une caractéristique de dispersion doivent être cohérents : ils sont liés au choix d'une distance dans Rn permettant de comparer deux échantillons. Ainsi, avec la distance euclidienne classique, si on cherche le point de coordonnées toutes égales ṯ = (t, t, ..., t), le plus proche de l'échantillon x̱ = (x1, x2, ..., xn), on trouve qu'il faut prendre t = x̄, et que la distance entre ṯ et x̱ est alors √ ns.

La représentation graphique d'un échantillon se fait à l'aide de l' histogramme, ou polygone des fréquences. On utilise aussi le diagramme des fréquences cumulées, ou fonction de répartition.

Pour le cas d'un échantillon d'un couple de deux variables, nous aurons par exemple :

Un tel échantillon peut être considéré comme un n-uple de points dans R2 ou comme un couple de points dans Rn. Les caractéristiques usuelles « au second ordre » d'un tel échantillon sont les valeurs moyennes x̄ et ȳ, les écarts types sx et sy, et le coefficient de corrélation :

quotient de la covariance :
par le produit sxsy des écarts types.

Le coefficient de corrélation n'est pas affecté par une transformation affine sur l'une ou l'autre des variables x et y. On montre sans peine qu'il est compris entre − 1 et + 1. D'un point de vue géométrique, lorsqu'on représente l'échantillon par un couple de points de Rn, le[...]

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Autres références

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