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LIE SOPHUS (1842-1899)

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2.  La théorie des groupes de Lie

Sous le nom de « groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace Cn des n variables complexes x1, ..., xn,

dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a1, ..., ar. Par la suite, il étudiera aussi, sous le nom de groupes infinis et continus, certains ensembles de transformations dépendant d'une infinité de paramètres (qui, en fait, ne sont pas des groupes). L'étude de Lie repose essentiellement sur la linéarisation qui introduit ce qu'on appelle l'algèbre de Lie du groupe. Si l'on obtient la transformation identique de l'espace Cn pour un choix a01, ..., a0r, la formule de Taylor au premier ordre :
introduit la transformation infiniment petite :

k = 1par intégration du système différentiel :

on obtient alors le groupe à un paramètre :
que Lie montre être un sous-groupe du groupe initial.

La méthode infinitésimale de Lie consiste en l'étude des opérateurs différentiels linéaires :

qu'il appelle transformations infinitésimales et dont l'ensemble forme,  […]

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Écrit par :  Bernard PIRE

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien *Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus… Lire la suite

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