9. Lien avec la théorie des déformations des germes d'hypersurfaces analytiques et l'équisingularité
Dans ce chapitre, nous supposons f (0) = 0. Les germes f ∈ En de détermination finie ont été caractérisés par la finitude de μ(f ) = dim En /J(f ) ; on peut montrer que cela équivaut à la finitude de τ(f ) = dim En/(f, J(f )) où (f, J(f )) désigne l'idéal engendré par les germes de f, ∂f /∂x1, ..., ∂f /∂xn (cette équivalence est propre au cas où le but est de dimension 1). Si f est analytique complexe, cette dernière condition signifie que 0 est un point singulier de l'hypersurface f̃ −1(0) de Cn, où f̃ désigne le complexifié de f.
On peut interpréter τ comme une codimension (le groupe des germes de difféomorphismes de Rn en 0 est remplacé par le groupe K de Mather) : deux germes f et g tels que f (0) = g(0) = 0 sont dans la même orbite si et seulement si f −1(0) et g−1(0) sont isomorphes au sens de la géométrie algébrique. Il est facile de développer dans ce nouveau cadre une théorie des déformations : l'énoncé classique du théorème de préparation de Weierstrass s'identifie alors (modulo une translation supprimant le terme en xn−1) au théorème des déformations K-universelles pour le germe xn.
Cette théorie est plus simple que celle du chapitre 8 : en particulier, les déploiements K-versels de f ∈ Mn ne sont autres que les déploiements stables comme germes d'application de Rn+k dans R1+k, c'est-à-dire inchangés après perturbation modulo changements de coordonnées C∞ à la source et au but ; cette remarque est d'ailleurs à la base de la classification par J. Mather des germes d'applications stables.
Considérons maintenant un germe holomorphe f̃ […]
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