SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

7.  Stratification de C∞(N, R) − Σ et familles « génériques » de fonctions

On peut caractériser les déformations verselles par une propriété de transversalité (comparer à la transversalité de S à l'orbite locale de f au chapitre 5) : si f ∈ E_n est déterminé à difféomorphisme local près par son jet d'ordre k, alors F ∈ E_n+l est une déformation verselle de f si et seulement si l'application ϕ : R^n+l ↦ J^k₀(Rⁿ, R), où ϕ(x, t) est le jet d'ordre k en 0 de y ↦ F(x + y, t), est transverse en (0, 0) à l'orbite Γ^kf de j^kf (0) sous l'action du groupe L^k_n des k-jets en 0 de difféomorphismes locaux de Rⁿ, 0.

Cela pourrait laisser croire que, « en général », une famille de fonctions est un déploiement versel de chacun des éléments de la famille (au niveau des germes ou au niveau global).

S'il en est bien ainsi pour des familles dépendant d'un petit nombre de paramètres, il n'en est rien dans le cas général, car les orbites dans J^k₀(Rⁿ, R) (resp. dans C^∞(N, R)) de l'action de L^k_n (resp. de Diff N × Diff R) forment des familles continues (modules) et, si la transversalité à une sous-variété est une propriété vérifiée « en général », ce n'est plus le cas de la transversalité à toutes les sous-variétés d'une famille.

Il est naturel de chercher à grouper ces familles d'orbites en sous-variétés (ouvertes) formant une partition localement finie (stratification) de J^k₀(Rⁿ, R) − Σ_k(resp. C^∞(N, R) − Σ) ayant d'assez bonnes propriétés (stratification de Whitne […]