5. Codimension d'une fonction
Nous allons interpréter ce qui précède en termes de l'action sur C∞(N, R) du groupe G = Diff N × Diff R, produit du groupe des difféomorphismes C∞ de N par le groupe des difféomorphismes C∞ de R (changements de coordonnées C∞ à la source et au but). Ce chapitre 5, sans démonstration, est destiné à rendre plus intuitives les définitions qui seront données au chapitre suivant dans le cadre des germes.
Soit f ∈ C∞(N, R) ; nous dirons que f est stable s'il existe un voisinage U de f dans C∞(N, R) tel que, pour tout g ∈ U, il existe un difféomorphisme ϕ de N proche de l'identité et un difféomorphisme ψ de R proche de l'identité (et même, si l'on veut, égal à l'identité en dehors d'un voisinage du compact f (N)) tels que g = ψ ∘ f ∘ ϕ −1. Autrement dit, f est stable si l'orbite locale de f sous l'action du groupe G est ouverte.
Le problème de la stabilité est facile à résoudre dans le cas d'une action α : G × M → M de classe C∞ d'un groupe de Lie G sur une variété de dimension finie M : il suit, en effet, du théorème du rang constant (qui découle du théorème des fonctions implicites) que les orbites sont des sous-variétés (images d'immersions injectives). Une condition nécessaire et suffisante de stabilité de m ∈ M est donc la surjectivité de la dérivée en l'élément neutre e de G de l'application A : G → M définie par A(γ) = α(γ, m).
Dans le cas où il n'y a pas stabilité, notons Σm ⊂ G le stabilisateur de m et choisissons une sous-variété S de M contenant m dont l'espace tangent en m soit un supplémentaire de l'espace tangent en m à l'orbite G ( m de m. La dimension c(m) de S, qui n'est autre que la codimension de l'image de DA(e), est appelée la codimension de m. La restriction à G × S de α a une dérivée en (e, m) de rang maximum (submersion), et elle se factorise au voisinage de (e,
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 15 pages…
