4. Points singuliers de détermination finie et fonctions T.S.F.
Nous avons vu dans le premier chapitre que, au voisinage d'un point régulier, une fonction C∞ est caractérisée, à changement de coordonnées locales près, par son jet d'ordre 1 en ce point ; nous étudions maintenant les points singuliers ayant une propriété analogue vis-à-vis du jet à un ordre fini. Nous retrouverons en particulier le lemme de Morse, à la base de si nombreux développements en topologie différentielle.
L'importance de cette question vient de ce que, contrairement à une fonction C∞ quelconque, une fonction polynomiale est susceptible d'une étude géométrique très précise.
Les résultats étant purement locaux, il est commode d'utiliser le langage des germes : deux applications f et g d'une variété N dans une variété P définissent le même germe en a ∈ N si elles coïncident sur un voisinage de a.
Si P = Rp, l'ensemble C∞a (N, Rp) des classes d'équivalence hérite de la structure d'anneau de C∞(N, Rp) et est appelé l'anneau des germes en a d'applications C∞ de N dans Rp. Notons en particulier En = C∞0 (Rn, R) et désignons par Ln ⊂ C∞0 (Rn, Rn) le groupe des germes en 0 d'applications ϕ : Rn → Rn vérifiant ϕ(0) = 0, avec Dϕ(0) inversible ; la formule ϕ ( f = f ∘ ϕ−1 définit une action de Ln sur En.
L'application f ↦ jkf (0) de Rn dans Jk0(Rn, R) se factorise en une application de En dans Jk0(Rn, R), enc […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 15 pages…
