SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

3.  Espaces de jets et théorèmes de transversalité de Thom

Cette impossibilité de définir intrinsèquement des dérivées d'ordre supérieur autrement qu'à travers une inflation de fibrés tangents de tangents de tangents... a conduit C. Ehresman à introduire, dans les années cinquante, la notion de jet d'application, fondamentale dans le sujet qui nous occupe : la remarque de base est que, si la dérivée k-ième de f en a ∈ N ne peut pas être définie en général comme forme k-linéaire sur T_aN, la propriété pour deux fonctions f et g de coïncider au point a jusqu'à l'ordre k (c'est-à-dire d'avoir en a les mêmes dérivées jusqu'à l'ordre k) dans une carte locale est indépendante du choix de la carte locale. On dit alors que f et g ont même jet d'ordre k en a ; la classe d'équivalence ainsi définie est appelée jet d'ordre k (ou k-jet) de f au point a, et notée j^kf (a). L'ensemble des k-jets au point a de fonctions C^∞ sur N est noté Jka(N, R) ; la réunion disjointe des Jka(N, R), lorsque a parcourt N, est notée J^k(N, R). Si N = Rⁿ, l'application qui à j^kf (a) associe le couple du point a et du polynôme de Taylor de la fonction X ↦ f (a + X) à l'ordre k en 0 (vérifier l'indépendance du choix du représentant f ) identifie canoniquement J^k(Rⁿ, R) au produit de Rⁿ par l'ensemble P^k(n) des polynômes à n variables de degré inférieur ou égal à k, ce qui munit J^k(Rⁿ, R) d'une topologie. Par exemple J^k(R, R) ≃ R^k+1, J²(R², R) ≃ R⁷, ... On peut en déduire une topologie sur J^k(N, R) qui en fait une variété C^∞, fibrée sur N de fibre J […]