2. Points singuliers non dégénérés
Sur une variété compacte, une fonction a nécessairement des points singuliers (c'est-à-dire non réguliers), à savoir les extrémums. Nous étudions dans ce chapitre les points singuliers les plus simples (et aussi les plus courants) ; ainsi que les points réguliers, ils sont caractérisés par une propriété de stabilité et, comme dans bien des cas, la source de cette stabilité est une situation de transversalité : rappelons qu'une application f d'une variété N dans une variété P est transverse en a ∈ N à la sous-variété Q de P, ou bien si f (a) ∉ Q, ou bien si f (a) ∈ Q et si l'espace tangent en f (a) à P est engendré par l'espace tangent en f (a) à Q et l'image par Df (a) de l'espace tangent en a à N :
Si ξ : Rp → Rp-q est une équation locale de Q au voisinage de f (a), la condition de transversalité équivaut à dire que D(ξ ∘ f )(a) est de rang p − q ; on en déduit immédiatement que, si g est assez proche de f au voisinage de a dans la topologie C1 et si b est assez proche de a, alors g est encore transverse en b à Q (cf. Transversalité, chapitre 5 de topologie - Topologie différentielle).
À titre d'exemple, étant donné une fonction f : Rn → R de classe C2, considérons l'application :
La transversalité en a ∈ Rn de Df à la sous-variété réduite au point 0 signifie ou bien que Df (a) ≠ 0, ou bien que Df (a) = 0 et :
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