11. Quelques problèmes globaux
La théorie de Morse a été utilisée avec succès pour résoudre des problèmes de topologie différentielle. Il y a, en effet, un lien étroit entre les points singuliers d'une fonction de Morse f : N → R et la topologie de N. Par exemple, la caractéristique d'Euler de N (somme alternée des nombres de Betti) est égale à la somme alternée C0 − C1 + ... + (− 1)nCn, où Ci est le nombre de points singuliers de f d'indice i (l'indice d'un point singulier est l'indice de la forme quadratique des dérivées secondes en ce point, c'est-à-dire le nombre de carrés négatifs dans une diagonalisation).
L'exemple le plus simple est la restriction à la sphère unité de Rn+1 de l'une des fonctions coordonnées : il y a deux points critiques, un minimum d'indice 0 et un maximum d'indice n ; la caractéristique d'Euler est donc 1 + (− 1)n = 0 si n est impair, 2 si n est pair. Réciproquement, une variété compacte possédant une fonction de Morse avec seulement deux points critiques est homéomorphe à une sphère. Utilisant cela, S. Smale a résolu affirmativement en 1965 la conjecture de Poincaré en grande dimension, montrant qu'une variété compacte simplement connexe N de dimension n ≥ 5 ayant même homologie que la sphère Sn est homéomorphe à Sn. L'opération fondamentale est l'élimination d'un couple de points singuliers (d'indices consécutifs i et i + 1) d'une fonction de Morse f : N → R par une déformation : le modèle de cette opération est la déformation universelle de la singularité pli (voir le chapitre 8). Pour réaliser ce modèle à partir de f, il suffit de plonger dans N un objet géométrique (couple de nappes en bonne position) constitué d'un disque D de dimension i + 1 centré sur le point singulier d d'indice i + 1 et d'un disque A de dimension n − i centré sur le point singulier a d'indice i, dont les bords situés dans une même surface de niveau de f s'intersectent transversalement en un seul point et tels que […]
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