De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace analytique n'est pas lisse, des points où un champ de vecteurs s'annule, on est confronté à une situation dont la géométrie ne se laisse pas découvrir par une simple application du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, chap. 2 et 3).
Issue des travaux pionniers de Marston Morse, de Hassler Whitney et de René Thom, la théorie des singularités des applications différentiables cherche à répondre aux questions suivantes :
– Peut-on décrire les singularités des éléments d'une famille à l paramètres « suffisamment générale » d'applications indéfiniment différentiables d'une variété N dans une variété P ?
– Peut-on décrire de quelle façon ces singularités se transforment les unes dans les autres dans une telle famille lorsque les param […]
Bibliographie
Ne sont indiqués ici que des articles de revue, des cours ou des comptes rendus de séminaires
on trouvera dans ceux-ci les références aux articles techniques originaux.
Sur les notions fondamentales de topologie différentielle
R. Abraham & J. Robbin, Transversal Mappings and Flows, Benjamin, 1967
V. Guillemin & A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
Sur les singularités de fonctions ou d'applications
V. I. Arnold, « Singularities of smooth mappings », in Russian Math. Surveys, 23, 1, pp. 1-43, 1968
« Lectures on bifurcations and versal families », ibid., 27, 5, pp. 54-123, 1972
« Critical Points of smooth functions », in Proceedings International Congress of Mathematicians, Vancouver, pp. 19-39, 1974
A. Chenciner, Travaux de Thom et Mather sur la stabilité topologique, Séminaire Bourbaki, no 424, 1973
J. Dieudonné, « Morse », in Universalia 1978, Encyclopædia Universalis
J. Martinet, Singularités des fonctions et applications différentiables, P.U.C., Rio de Janeiro, 1974
J. Petitot, « Catastrophes (Théorie des) », in Universalia 1978, Encyclopædia Universalis
R. Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, coll. 10
18, U.G.E., Paris, 1974.« Proceedings of Liverpool Singularities Symposium », vol. I, in Lecture Notes in Mathematics, no 192, Springer Verlag, Berlin, 1970 (surtout pour les articles de Thom et de Wall).
Sur l'aspect géométrie analytique
J. Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
B. Teissier, The Hunting of Invariants in the Geometry of Discriminants, Nordic Summer School, Oslo, 1976.
Sur l'aspect global
J. Milnor, « Morse Theory », in Ann. Math. Studies, no 51, Princeton University Press, 1963
Lectures on the h-Cobordism Theorem, ibid., 1965.
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