3. Familles sommables
La définition de la somme d'une série repose sur le fait que l'ensemble des indices est N, et donc un ensemble canoniquement ordonné. Dans de nombreux problèmes, l'ordre des termes ne joue aucun rôle. Le besoin se fait aussi sentir de définir la somme d'une famille indexée par un ensemble I (non nécessairement dénombrable a priori), indépendamment du choix d'une relation d'ordre dans I.
Soit de nouveau G un groupe commutatif topologique séparé. On dit qu'une famille a = (ui), i ∈ I, d'éléments de G est sommable s'il existe un élément s de G satisfaisant à la condition suivante : Pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie J de I contenant J0, on ait :
un tel élément s est unique. On l'appelle somme de la famille a et on le note :
Si 0 admet une base dénombrable de voisinages, le support de toute famille sommable est dénombrable (ce qui ne signifie pas que l'on doive se ramener systématiquement au cas où I = N).
Soit maintenant E un espace de Banach. Le critère de Cauchy devient : Pour qu'une famille (ui), i ∈ I, d'éléments de E soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie K de I ne rencontrant pas J0, on ait :
La notion de famille sommable est commutative. De manière précise, pour toute famille sommable (ui), i ∈ I, d'éléments de G et pour toute permutation σ de I, la famille (uσ(i), i ∈ I, est sommable, et :
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