2. Convergence absolue et semi-convergence
L'étude d'une série d'éléments d'un espace de Banach peut souvent se ramener à celle d'une série de nombres réels positifs, grâce à la notion suivante : On dit qu'une série A = ((un), (sn)) d'éléments d'un espace vectoriel normé E est absolument convergente si la série de terme général (∥un∥) est convergente. Pour que E soit complet, il faut et il suffit que toute série absolument convergente d'éléments de E soit convergente. En particulier, toute série absolument convergente de nombres complexes est convergente.
Prenons par exemple pour E l'espace vectoriel des applications bornées sur un ensemble X à valeurs dans un espace de Banach F, et munissons E de la norme de la convergence uniforme. La convergence absolue au sens de cette norme est dite normale. Toute série normalement convergente d'éléments de E est uniformément convergente sur X et absolument convergente (au sens de la norme sur F) en tout point de X ; une telle série converge simplement sur X. On notera que toutes les réciproques sont fausses.
L'étude des séries non nécessairement absolument convergentes est souvent facilitée par la règle suivante.
Règle d'Abel. Soit (αn) une suite décroissante de nombres réels positifs convergeant vers 0 et (an) une suite d'éléments d'un espace de Banach E. S'il existe un nombre réel positif β tel que, pour tout couple (q, r) d'entiers naturels avec q < r, on ait :
alors la série de terme général (αnan) est convergente. De plus, pour tout entier naturel n, le reste à l'ordre n est majoré en norme par βαn+1.
On retrouve ainsi la condition suffisante de convergence des séries alternées : soit (un) une suite de nombres réels non nuls telle que la suite ((− 1)nun) soit de signe […]
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