La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xviie siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du xixe siècle, avec les travaux d'Abel, de Cauchy et de Gauss. L'étude des séries de nombres réels ou complexes et celle des séries de fonctions (séries entières, séries de Fourier, etc.) peuvent être considérées comme des cas particuliers de la théorie des séries d'éléments d'un espace vectoriel normé. On peut regrouper la notion de produit infini, utilisée par Euler au xviiie siècle, avec celle de série, à condition de se placer dans le cadre des groupes topologiques séparés.
1. Séries
Soit G un groupe commutatif topologique séparé, dont la loi est notée additivement. On appelle série d'éléments de G un couple A = ((un), (sn)) constitué de deux suites d'éléments de G telles que, pour tout entier naturel n, on ait :
On dit que la série A est convergente ou divergente suivant que la suite (sn) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (sn) s'appelle somme de A et se note encore :
Il est immédiat qu […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 4 pages…
