La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xviie siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du xixe siècle, avec les travaux d'Abel, de Cauchy et de Gauss. L'étude des séries de nombres réels ou complexes et celle des séries de fonctions (séries entières, séries de Fourier, etc.) peuvent être considérées comme des cas particuliers de la théorie des séries d'éléments d'un espace vectoriel normé. On peut regrouper la notion de produit infini, utilisée par Euler au xviiie siècle, avec celle de série, à condition de se placer dans le cadre des groupes topologiques séparés.
Soit G un groupe commutatif topologique séparé, dont la loi est notée additivement. On appelle série d'éléments de G un couple A = ((un), (sn)) constitué de deux suites d'éléments de G telles que, p […]
Autres références
« SÉRIES ET PRODUITS INFINIS » est également traité dans :
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BOREL ÉMILE (1871-1956)
Auteur :
Maurice FRÉCHET
Dans le chapitre "L'œuvre scientifique" : …
Sommation des *séries divergentes.L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important…
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
Auteur :
René TATON
Dans le chapitre "Séries infinies. Formule du binôme" : …
Cet *exemple nous conduit tout naturellement à signaler l'apport essentiel des années 1660, l'introduction systématique des séries infinies. Certes, l'intérêt porté aux algorithmes infinis apparaît dès l'Antiquité et se retrouve dans certaines spéculations scolastiques. Dès 1593, Viète avait développé en produit infini le rapport 2/π de l'aire d'un…
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EULER LEONHARD (1707-1783)
Auteurs :
Christian HOUZEL, Jean ITARD
Dans le chapitre "Mathématiques" : …
doué pour le calcul, aussi bien numérique que formel. Dans l'Introductio, il manipule les *séries et les produits infinis d'une façon prodigieuse et il trouve des résultats très remarquables, comme le développement de sin z en produit infini : qui lui donne les sommes des séries : sous la forme Anπ…
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GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
Auteurs :
Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "La rigueur" : …
leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des *séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument pas être comprises à cette époque), et cela ne laissait pas de les encourager à…
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INFINI, mathématiques
Auteur :
Jean Toussaint DESANTI
Dans le chapitre "Le passage à la limite" : …
de la convergence. Il n'en allait pas de même aux origines du « calcul » où le concept de *série infinie restait encore, à la fois, très opératoire et très intuitif. Aussi Leibniz interprète-t-il le signe de l'égalité en déclarant (op. cit., t. V, p. 121) qu'aussi loin que l'on poursuive la dichotomie du segment AB de longueur 1…
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Bibliographie
M. Balabane, M. Duflo, M. Frish et al., Maths en kit, t. II : Sommes : séries, Vuibert, Paris, 1982
N. Bourbaki, Topologie générale, chap. III à IX, Masson, Paris, nouv. éd. 1982
L. Chambadal & J.-L. Ovaert, Analyse II, Gauthier-Villars, Paris, 1972
Y. Chevallard & R. Rolland, Théorie des séries, 2 vol., Cedic-Nathan, Paris, 1979
J. Combes, Suites et séries, P.U.F., Paris, 1982
J. Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I et II, Gauthier-Villars, 1962-1982
G. H. Hardy, Divergent Series, Chelsea Publ., New York, 2e éd. 1991
E. Ramis, C. Descamps & J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, t. IV : Séries, équations différentielles..., Masson, 1993
L. Schwartz, Analyse. Topologie générale et analyse fonctionnelle, Hermann, 1970
E. Whittaker & G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge Univ. Press, New York-Londres, 1969.
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