8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
• Optimisation de l'approximation
Avec les notations du chapitre précédent, nous allons étudier les deux problèmes suivants :
a) l'unicité de l'élément ϕn de En optimisant l'approximation de f par les éléments de En ; il est alors intéressant de construire des méthodes explicites de calcul de ϕn ;
b) la distance δn(f ) tend-elle vers 0 si n tend vers + ∞ ? Si oui, déterminer la vitesse de convergence en fonction des propriétés de f.
Voici deux exemples classiques.
Dans le premier, E est un espace vectoriel de fonctions 1-périodiques à valeurs complexes et En est le sous-espace vectoriel Tn des polynômes trigonométriques de degré ≤ n, c'est-à-dire des combinaisons linéaires des fonctions exponentielles t ↦ e2iπpt, où |p| ≤ n.
Dans le second, E est un espace vectoriel de fonctions définies sur [a, b] et En est le sous-espace vectoriel Pn des polynômes de degré ≤ n.
Bien entendu, les réponses aux problèmes précédents vont dépendre du type de convergence considéré. Nous examinerons principalement le cas des normes N2 (approximation en moyenne quadratique) et N∞ (approximation uniforme).
Unicité de ϕn
Théorème 1. L'unicité de ϕn est assurée lorsque la boule unité est strictement convexe, c'est-à-dire si les relations ∥x∥ = ∥y∥ = 1 et αx + βy = 1 avec α > 0, β > 0, α + β = 1 impliquent […]
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