7. Stabilité et consistance
On peut décrire les procédés linéaires d'approximation par le schéma général suivant : soit E et F des espaces vectoriels normés de fonctions, et u une application linéaire continue de E dans F. Un processus linéaire d'approximation de u est une suite (un) d'applications linéaires continues de E dans F telles que, pour tout élément f de E, un(f ) converge vers u(f ).
Le cas le plus classique est celui où F = E et où u est l'application identique de E, c'est-à-dire où un(f ) converge vers f ; nous en avons fourni de nombreux exemples aux chapitres 4 et 5, les plus significatifs étant ceux des séries de Fourier et de l'interpolation de Lagrange. Le cas où F = C, c'est-à-dire où u est une forme linéaire sur E est aussi très intéressant (cf. analyse numérique).
• Stabilité
Un des problèmes les plus importants, surtout pour l'analyse numérique, concerne la stabilité du processus (un) : si l'on fait une petite erreur sur la fonction f, c'est-à-dire si on remplace f par une fonction g proche de f dans E, un(g) converge-t-elle vers un élément proche de u(f ) ? La réponse est fournie par le résultat suivant.
Théorème 1. Caractérisation des processus stables.
1. Si la suite (∥un∥) des normes des applications linéaires un est bornée par un nombre M indépendant de n, alors, pour tout couple (f, g) d'éléments de E :
2. Réciproquement, si (∥un∥) n'est pas bornée, […]
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