6. Opérations sur les représentations et les approximations
Nous avons déjà vu que l'emploi des représentations pour la résolution des problèmes nécessite de pouvoir opérer sur ces représentations : il s'agit non seulement des opérations algébriques (tomme, produit...) mais aussi des opérations de passage à la limite (limites de suites, sommes de séries, intégration, dérivation). Ces problèmes rentrent dans le schéma général d'interversions de passages à la limite. Nous commencerons par préciser les propriétés stables par passage à la limite uniforme pour les suites de fonctions, ce qui est étroitement lié au cas des séries, puis nous examinerons le cas des représentations intégrales. Nous terminerons par quelques indications sur les autres modes de convergence.
• Suites de fonctions
Les trois problèmes les plus importants sont les suivants.
Problème 1. Continuité et passage à la limite. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un espace métrique A à valeurs complexes, convergeant sur A vers une fonction f. La fonction f est-elle continue sur A ?
La réponse est négative pour la convergence simple, comme le montre l'exemple A = [0, 1] et f (x) = xn.
Théorème 1. Stabilité de la continuité. Si (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de A, alors f est continue sur A.
Problème 2. Passage à la limite dans les intégrales. On dispose de deux résultats très importants. Le premier est élémentaire.
Théorème 2. Passage à la limite dans les intégrales (cas compact).
Soit (fn) une suite d'applications continues de [a, b] dans C qui converge uniform […]
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