5. Interpolation et discrétisation
• Position du problème
Ce sont les problèmes de tabulation numérique des fonctions transcendantes élémentaires (lignes trigonométriques, logarithmes) et, à partir du xviie siècle, le calcul approché des intégrales et des dérivées qui ont été à l'origine du développement des méthodes interpolatoires. D'autre part, dans de nombreux phénomènes continus intervenant en sciences physiques, décrits par exemple à l'aide d'une fonction, on ne connaît les valeurs de cette fonction qu'en un certain nombre de points qui correspondent aux mesures effectuées. Les problèmes issus de l'astronomie, en particulier la détermination de la trajectoire des planètes, ont aussi joué un rôle moteur, comme en témoignent notamment les travaux d'Euler, Lagrange, Legendre, Laplace et Gauss.
Dans tous les cas, le phénomène continu est remplacé par un phénomène discret. Plus précisément, supposons que le phénomène continu est décrit par une fonction numérique f d'une variable réelle. On se donne une subdivision S de l'intervalle [α, β], c'està-dire une suite croissante (α0, α1, ..., αn) de points de [α, β] ; le module de la subdivision S est le nombre :
Lorsque α0 = α, αn = β et, pour tout j, αj+1 − αj = (β − α)/n, on dit que la subdivision est à pas constant, et Δ(S) = (β − α)/n s'appelle le pas de S.
Dans ces conditions, on associe à S la suite finie (f (α0), ..., f (αn)). Nous dirons qu'il s'agit d'une discrétisation de f (cf. analyse numérique). Le problème est alors de savoir dans quelle mesure on peut reconstituer f à partir des phénomènes discrétisés associés. À cet effet, on interpole la suite précédente par une fon […]
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