3. Représentations par des séries
• Séries entières
La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor.
Inversement, dans de nombreux problèmes, il est utile de représenter une fonction f de classe C∞ par sa série de Taylor. Mais ici la situation est très différente selon qu'on se place sur le corps des nombres complexes ou sur celui des nombres réels. Dans le premier cas, la série de Taylor converge toujours vers la fonction dans tout disque où f est de classe C∞ (d'ailleurs la dérivabilité suffit ; cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). Dans le cas du corps des réels, il existe des fonctions C∞ dans un intervalle ]− a, a[ dont la série de Taylor converge, mais vers une autre fonction : c'est le cas de la fonction f définie par f (0) = 0, f (x) = exp(− 1/x2), exemple introduit par Cauchy dans son Cours d'analyse (1821). Il existe aussi des fonctions C∞ dont la série de Taylor a un rayon de convergence nul : c'est le cas de la fonction :
Plus précisément, Émile Borel a montré que, pour toute suite (an) de nombres complexes, il existe une fonction C∞ sur R telle que, pour tout n, f (n)(0) = an. Autrement dit, l'application de Taylor T de C∞(R) dans l'anneau C[[X]] des séries formelles à coefficients complexes, définie par :
Il n'est donc pas possible, […]
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