FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
Représentations par des séries
Séries entières
La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor.
Inversement, dans de nombreux problèmes, il est utile de représenter une fonction f de classe C∞ par sa série de Taylor. Mais ici la situation est très différente selon qu'on se place sur le corps des nombres complexes ou sur celui des nombres réels. Dans le premier cas, la série de Taylor converge toujours vers la fonction dans tout disque où f est de classe C∞ (d'ailleurs la dérivabilité suffit ; cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). Dans le cas du corps des réels, il existe des fonctions C∞ dans un intervalle ]− a, a[ dont la série de Taylor converge, mais vers une autre fonction : c'est le cas de la fonction f définie par f (0) = 0, f (x) = exp(− 1/x2), exemple introduit par Cauchy dans son Cours d'analyse (1821). Il existe aussi des fonctions C∞ dont la série de Taylor a un rayon de convergence nul : c'est le cas de la fonction :
Plus précisément, Émile Borel a montré que, pour toute suite (an) de nombres complexes, il existe une fonction C∞ sur R telle que, pour tout n, f (n)(0) = an. Autrement dit, l'application de Taylor T de C∞(R) dans l'anneau C[[X]] des séries formelles à coefficients complexes, définie par :
Il n'est donc pas possible, comme l'a tenté Lagrange dans la Théorie des fonctions analytiques (1797), de fonder le calcul différentiel sur le développement en série de Taylor.
Ce phénomène est à l'origine du concept de fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞ dans I à l'aide d'inégalités du type suivant, portant sur la rapidité de croissance des modules des dérivées successives : pour tout intervalle compact K contenu dans I, il existe des constantes CK et rK telles que l'on ait, pour tout entier n :
Bien entendu, en tout point a ∈ I, l'application de Taylor Ta est injective sur le sous-espace vectoriel Cω(I) des fonctions analytiques dans I. Plus généralement, on dit qu'un sous-espace vectoriel V de C∞(I) est quasi analytique si la restriction de Ta à V est injective.
La condition (1) conduit plus généralement à considérer une suite croissante b = (βn) tendant vers + ∞ et logarithmiquement convexe, c'est-à-dire vérifiant β2n ≤ βn-1 βn+1, et à introduire la sous-algèbre Vb de C∞(I) constituée des fonctions f telles que l'on ait :
Le théorème de Denjoy-Carleman affirme que Vb est quasi analytique si et seulement si la série de terme général (βn)−1/n est divergente.
Si Vb est quasi analytique, ses éléments ont des propriétés très rigides : en particulier, le principe du prolongement analytique est valable et Vb ∩ D(I) est réduit à {0}. Au contraire, si Vb n'est pas quasi analytique, Db(I) = Vb ∩ D(I) est dense dans D(I) et les propriétés de Vb ressemblent à celles de D(I). L'exemple le plus intéressant est fourni par les classes de Gevrey, où βn = (n !)s, s > 1, auquel cas Vb se note Ds(I) ; cet espace étant muni d'un type de convergence analogue à celui de D(I), son dual topologique est constitué des ultradistributions : il est analogue à D′(I) mais beaucoup plus grand. Ces espaces interviennent dans l'étude des problèmes aux limites des équations aux dérivées partielles, où l'on introduit aussi l'espace vectoriel des fonctionnelles analytiques, c'est-à-dire le[...]
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY. FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Fonction à oscillation rapide
Encyclopædia Universalis France
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
DARBOUX GASTON (1842-1917)
- Écrit par Jacques MEYER
- 320 mots
Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale...
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
- Écrit par Claude BARDOS, Martin ZERNER
- 5 849 mots
- 7 médias
Du point de vue mathématique, les méthodes d'éléments finis sont une sous-famille des méthodes de Ritz-Galerkin. Pour les problèmes variationnels, ces méthodes consistent à remplacer l'espace V des fonctions admissibles par un de ses sous-espaces VN dit « espace d'approximation ». -
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
- Écrit par Christian COATMELEC, Universalis, Maurice ROSEAU
- 11 635 mots
..., ..., yn), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :où :
ce problème Pn est obtenu en divisant I = [x0, x0 + a]en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant uneapproximation yi de y(xi) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P1.
-
GELFOND ALEXANDRE OSSIPOVITCH (1906-1968)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 156 mots
Mathématicien russe, né à Saint-Pétersbourg et mort à Moscou. Le nom de Gelfond reste attaché à l'étude des nombres transcendants ; on lui doit aussi d'importants résultats sur l'interpolation et l'approximation des fonctions de variable complexe. Depuis 1931, Gelfond a enseigné les mathématiques...
- Afficher les 14 références
Voir aussi
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- LIMITE PROJECTIVE
- CONVERGENCE, mathématiques
- NORME, mathématiques
- LIMITE INDUCTIVE
- PRODUIT HERMITIEN
- PROJECTEUR, mathématiques
- FRACTION CONTINUÉE
- FOURIER SÉRIE DE
- APPLICATION RÉGULIÈRE
- CONVERGENCE DOMINÉE THÉORÈME DE LA
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- WEIERSTRASS THÉORÈME D'APPROXIMATION DE
- TAYLOR SÉRIE DE
- RADON MESURE DE
- SÉRIES ENTIÈRES
- FOURIER TRANSFORMATION DE
- HAAR THÉORÈME DE
- NOYAU, analyse mathématique
- APPROXIMATIONS SUCCESSIVES MÉTHODES DES
- ASCOLI THÉORÈME D'
- CAUCHY PROBLÈME DE
- SUITES, mathématiques
- DIRAC FONCTION DE
- CALCUL DIFFÉRENTIEL & INTÉGRAL
- ESCALIER FONCTION EN
- LAPLACE TRANSFORMATION DE
- ESPACE COMPLET
- ESPACE COMPACT
- BANACH-STEINHAUS THÉORÈME DE
- STABILITÉ, analyse numérique
- INTERPOLATION, mathématiques
- DUALITÉ, mathématiques
- RÉPONSE IMPULSIONNELLE
- CONSISTANCE, analyse numérique
- CONVERGENCE UNIFORME
- CONVERGENCE EN MOYENNE
- CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
- CONVERGENCE SIMPLE
- CONVERGENCE RAPIDITÉ DE
- DISCRÉTISATION, mathématiques
- EULER MÉTHODE DU PAS À PAS D', analyse numérique
- DIFFÉRENCES CALCUL DES
- DINI THÉORÈME DE
- LAGRANGE INTERPOLATION DE
- HERMITE INTERPOLATION DE
- FUBINI THÉORÈME DE
- POISSON ÉQUATION DE
- QUASI ANALYTIQUE
- NOYAU INTÉGRAL
- NEWTON POLYNÔMES DE
- SOBOLEV ESPACE DE
- SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
- SÉRIES DE FONCTIONS
- TCHEBYCHEV POLYNÔME DE
- SPLINE FONCTION
- APPROXIMATION
- EXPONENTIELLE FONCTION
- REPRÉSENTATION INTÉGRALE
