RÉALISME, mathématique

Le réalisme affirme l'existence, indépendante et préalable à la connaissance que nous en avons, des entités mathématiques : nombres, figures, ensembles, fonctions, variétés, etc. Pour le réaliste, le mathématicien manipule des objets bien déterminés qui défient son intelligence. Connaître n'est pas inventer, mais découvrir des éléments, des opérations, des fonctions, des méthodes de démonstration. Le mathématicien le plus imaginatif ne fait que « trouver » des solutions en fonction des contraintes d'objets et d'opérations qui imposent leurs modalités propres. Les propositions mathématiques vraies expriment des propriétés essentielles de ces opérations et objets. La doctrine de la vérité impliquée est celle de l'adéquation ou correspondance entre ce qui est et ce qu'on en dit. La pensée est pensée de l'être. Et l'être est de toute éternité. La vérité mathématique est vérité en soi d'un objet en soi, que nous sachions on non la démontrer. Par exemple le « théorème de Fermat » était vrai avant qu'on n'en trouve une démonstration.

Cependant, les êtres mathématiques ne sont pas des objets du monde extérieur, sensible ou physique. Ce sont des êtres de pensée. Le paradoxe fondamental du réalisme mathématique est d'affirmer la réalité autonome d'êtres de pensée. Le réaliste suppose, en outre, que ces êtres de pensée reflètent l'être tel qu'en lui-même. Aussi rejoint-il l'idéaliste, pour qui, en général, l'être est dans la pensée. Exemple historique, qui a servi de bannière de ralliement aux réalistes modernes, le platonisme discrédite les apparences et les choses inférieures du monde sensible pour réserver la « vraie » réalité, stable et une, aux Idées. L'objet de connaissance n'est pas le substrat de l'Idée, la chose réelle extérieure, mais l'idéalité abstraite dans notre entendement. De nombreux mathématiciens se réclament volontiers du réalisme des Idées platoniciennes. Pour Alain Connes, par exemple, « la suite des nombres premiers a une réalité plus stable que la réalit […]