3. Modélisation des structures quasi périodiques
Si les propriétés structurales paradoxales des quasi-cristaux (réflexions de Bragg et symétries non cristallines) n'ont pas découragé les physiciens de la matière condensée, c'est en partie grâce à des travaux mathématiques réalisés dans les années 1970. Le mathématicien Roger Penrose a montré en effet que l'on peut construire des pavages du plan non périodiques et de symétrie pentagonale en utilisant seulement deux pavés en forme de losange (fig. 4). Chacun des deux types de losange porte une certaine décoration qui permet de préciser les règles d'assemblage entre pavés voisins. Ces contraintes interdisent de réaliser un pavage périodique, mais autorisent néanmoins une infinité de pavages non périodiques. Les pavages de Penrose ont de remarquables propriétés de régularité. La première, appelée isomorphisme local, spécifie que toute partie finie d'un pavage s'y trouve répétée une infinité de fois en d’autres endroits ainsi que dans tout autre pavage permis. Il s’agit là d’un léger affaiblissement de la caractéristique des pavages périodiques construits par répétition d'un seul motif. Une autre propriété des pavages de Penrose est leur auto-similarité : on peut toujours superposer à un pavage donné un pavage du même type dont les losanges sont à une échelle plus grande d'un facteur égal au nombre d'or (1 + √5)/2. Enfin, la symétrie non cristalline d'ordre 5 est manifestement présente dans tous ces pavages. Les pavages de Penrose du plan ont été généralisés en pavages de l'espace à trois dimensions en utilisant seulement deux volumes élémentaires en forme de rhomboèdres. Là aussi, une décoration adéquate des rhomboèdres conduit à des règles d'assemblage qui permettent de remplir tout l’espace mais qui interdisent la périodicité et garantissent une symétrie de type icosaédrique. L’assemblage de ces rhomboèdres donne lieu à des polyèdres simples comme le triacontaèdre formé de vingtrhomboèdres.
Le paradoxe initial soulevé par les quasi-cristaux s […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 5 pages…
