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QUADRIQUES

Les surfaces de l'espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en « corps ronds » et « corps droits ». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles.

Les corps ronds sont, essentiellement, la sphère déjà citée, le cylindre et le cône usuels. Étudiées individuellement, ces surfaces semblent n'avoir que peu de points communs : l'une est bornée, les deux autres ne le sont pas. Le cône possède un point remarquable (son sommet), alors que le cylindre est totalement homogène. Il est toutefois bien connu que les intersections de ces trois surfaces par des plans sont toujours des coniques, éventuellement dégénérées en couples de droites. L'adjectif conique, c'est-à-dire dessiné sur un cône, est à l'origine du nom donné à ces courbes.

Les propriétés très remarquables des coniques, qui constituent l'ensemble le plus riche de courbes simples, avaient conduit les Grecs à unifier partiellement les définitions et les démonstrations propres à chacune d'elles (ellipse, parabole et hyperbole). Seule la géométrie analytique cartésienne, pourtant, a permis de donner des coniques la définition essentielle : ce sont les courbes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les ensembles de points dont les coordonnées (xy) satisfont à une égalité de la forme :

où P est un polynôme non nul du second degré. Suivant la nature des nombres x et y (qui sont réels ou complexes), on définit plusieurs types de coniques.

La généralisation de cette notion à l'espace de dimension trois est alors évidente. Les surfaces ainsi définies sont appelées quadriques. Leurs sections planes sont des coniques ; et cela les caractérise évidemment parmi les surfaces algébriques.

1.  Cadre naturel de la théorie

  Extensions diverses

Une quadrique est un ensemble de points satisfaisant à une égalité de la forme suivante où l'un au moins des six premiers coefficients n'es [...]

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Pour citer cet article

WARUSFEL, « QUADRIQUES  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/quadriques/

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